Задача 1 (Числові характеристики статистичних даних)

На 100 навмання вибраних ділянках, однакових за певними характеристиками, зібрано різні урожаї зерна, що характеризуються такою таблицею:

Знайти числові характеристфики цих статистичних даних.

♦ 1) Мінімальні і максимальні спостережені значення:

хmin = 14, xmax = 20.

2) Розмах вибірки: R = 20 – 14 = 6;

3) Мода: М0 = х4 = 17.

4) Медіана: Ме = 17. Оскільки варіаційний ряд містить 100 варіант (100 = 2m – парне число), то 

 M_{e}=\frac{x_{m}+x_{m+1}}{2}=\frac{x_{50}+x_{51}}{2}=\frac{17+17}{2}=17 .

5) Статистичне середнє:

  \bar{x}_{100}=\frac{1}{100}(14\cdot 6+15\cdot 10+

 +16\cdot 18+17\cdot 28+18\cdot 20+19\cdot 12+20\cdot 6)=17,06 .

6) Середнє гармонічне: 

 \bar{x}_{\Gamma p}=\frac{100}{\frac{6}{14}+\frac{10}{15}+\frac{18}{16}+\frac{128}{17}+\frac{20}{18}+\frac{12}{19}+\frac{6}{20}}=16,55 .

7) Середнє геометричне:

  \bar{x}_{\Gamma M}=\sqrt[100]{14^{6}\cdot 15^{10}\cdot 16^{18}\cdot 17^{28}\cdot 18^{20}\cdot 19^{12}\cdot 20^{6}}=16,73 .

8) Середнє квадратичне: 

 \bar{x}_{\sigma }=\sqrt{\frac{1}{100}(14^{2}\cdot 6+15^{2}\cdot 10+16^{2}\cdot 18+17^{2}\cdot 28+}

 \sqrt{+ 18^{2}\cdot 20+19^{2}\cdot 12+20^{2}\cdot 6)} =17,13.

Помічаємо, що  \bar{x}_{\Gamma p}<\bar{x}_{\Gamma M}<\bar{x}_{n}<\bar{x}_{\sigma } . Виявляється, що завжди є правильною рівність  \bar{x}_{\Gamma p}\leq \bar{x}_{\Gamma M}\leq \bar{x}_{n}\leq \bar{x}_{\sigma }.

9) Статистична дисперсія:

 D_{100}=\frac{1}{100}((-3,06)^{2}\cdot 6+(-2,03)^{2}\cdot 10+(-1,06)^{2}\cdot 18+

 +(-0,06)^{2}\cdot 28+(0,94)^{2}\cdot 20+(1,94)^{2}\cdot 12+(2,94)^{2}\cdot 6)=2,33 .

10) Виправлена статистична дисперсія: 

 \tilde{D}_{100}=\frac{100}{99}D_{100}=\frac{100}{99}\cdot 2,33=2,35 .

11) Середнє квадратичне відхилення:

  \sigma _{100}=\sqrt{D_{100}}=\sqrt{2,33}=1,53 .

12) Початкові моменти: 

 \nu _{0}=1,\; \nu _{1}=\bar{x}_{100}=17,06,

  \nu _{2}=\frac{1}{100}(14^{2}\cdot 6+15^{2}\cdot 10+16^{2}\cdot 18+17^{2}\cdot 28+18^{2}\cdot 20+\\+19^{2}\cdot 12+20^{2}\cdot 6)=293,38,

  \nu _{3}=\frac{1}{100}(14^{3}\cdot 6+15^{3}\cdot 10+16^{3}\cdot 18+17^{3}\cdot 28+18^{3}\cdot 20+\\+19^{3}\cdot 12+20^{3}\cdot 6)=5084,54,

  \nu _{4}=\frac{1}{100}(14^{4}\cdot 6+15^{4}\cdot 10+16^{4}\cdot 18+17^{4}\cdot 28+18^{4}\cdot 20+\\+19^{4}\cdot 12+20^{4}\cdot 6)=88783,54.

13) Центральні моменти:  \mu _{0}=1,\;\mu _{1}=0,\; \mu _{2}=D_{100}=2,33 ,

 \mu _{3}=\frac{1}{100}((-3,06)^{3}\cdot 6+(-2,06)^{3}\cdot 10+(-1,06)^{3}\cdot 18+  

 +(-0,06)^{3}\cdot 28+(0,94)^{3}\cdot 20+(1,94)^{3}\cdot 12+(2,94)^{3}\cdot 6)=-0,24 ,

 \mu _{4}=\frac{1}{100}((-3,06)^{4}\cdot 6+(-2,06)^{4}\cdot 10+(-1,06)^{4}\cdot 18+

 +(-0,06)^{4}\cdot 28+(0,94)^{4}\cdot 20+(1,94)^{4}\cdot 12+(2,94)^{4}\cdot 6)=13,66 .

14) Коефіцієнт асиметрії:  A_{3}=\frac{-0,24}{3,58}=-0,07 .

15) Ексцес:  E=\frac{13,66}{5,48}-3=2,49-3=-0,51

Оскільки Е < 0, то цей розподіл плосковершинний.

Враховуючи, що  \bar{x}_{100}\approx M_{0}=M_{e} і полігон частот майже симетричний відносно   \bar{x}_{50} , то можна вважати, що маємо симетричний розподіл відносних частот. А сам полігон частот цього розподілу має вигляд:

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930