Задача 1 (Дослідження на неперервність, характер точок розриву)

Дослідити функції на неперервність та встановити характер їх точок розриву:

а) f(x) = \frac{\left|x-2 \right|}{x^{2}-4};
б)  f(x) =e^{\frac{1}{x+1}};
в) f(x) =arctg\frac{1}{x}  .

♦ a) Задана функція є неперервною на всій області дійсних чисел, окрім точок, в яких знаменник перетворюється в нуль. Це точки х = -2 та х = 2.

Точка х = -2 є точкою розриву другого роду, оскільки   \lim_{x\rightarrow -2}f(x)=\propto .

Визначимо тепер характер розриву у точці х = 2. Для цього розкриємо модуль для всіх значень х, відмінних від -2 та 2:   f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x+2}& \text{, } x<2 , \\ \frac{1}{x+2} & \text{, } x>2 . \end{cases}

Обчислимо ліву і праву границі в точці х = 2:

\lim_{x\rightarrow 2-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-1}{x+2}=-\frac{1}{4}

 \lim_{x\rightarrow 2+0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}

Отже, в точці х = 2 функція має розрив першого роду (стрибковий розрив) з величиною стрибка розриву 

h=\frac{1}{4}-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{2} .

б) Задана функція є неперервна на всій множині дійсних чисел, окрім точки х = – 1 (точка, яка перетворює знаменник на нуль). Значить, ця точка і буде точкою розриву функції. Знайдемо ліву та праву границі цієї функції:

\lim_{x\rightarrow -1-0}e^{\frac{1}{x+1}}=0

\lim_{x\rightarrow -1+0}e^{\frac{1}{x+1}}=+\propto .

Отже, бачимо, що точка х = -1 є точкою розриву другого роду.

в) Задана функція є неперервною на всій множині дійсних чисел, окрім точки х = 0. Знайдемо ліву та праву границі функції в цій точці:

\lim_{x\rightarrow 0-0}arctg\frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2},

\lim_{x\rightarrow 0+0}arctg\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2} .

Отже, точка х = 0 є точкою розриву першого роду, а саме стрибкового розриву.♦

 

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31