Задача 1 (Формула Ньютона-Лейбніца)

Використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, обчислити такі інтеграли:

а)  \int_{1}^{2}{e^{x}dx}  ;

б)  \int_{2}^{4}{\frac{x^{3}+2x^2-x-1}{x^{2}-1}dx}  ;

в)  \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin^{2}x\: cosx\: dx}  .

♦ а) Під знаком інтеграла маємо табличний інтеграл, тому  \int_{1}^{2}{e^{x}dx}=e^{x}|^{2}_{1}=e^{2}-e .

б) Під знаком інтеграла маємо неправильний дріб. Виділимо цілу частину, використавши наступний розклад:

 x^{3}+2x^2-x-2=x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^{2}-1),\;

\frac{x^{3}+2x^2-x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x^{2}-1} .

Отже, заданий інтеграл обчислимо: 

 \int_{2}^{4}{\frac{x^{3}+2x^2-x-1}{x^{2}-1}dx}=\int_{2}^{4}{(x+2)dx}+\int_{2}^{4}{\frac{dx}{x^{2}-1}}=


=(\frac{x^{2}}{2}+2x)|_{2}^{4}+\frac{1}{2}ln\left|\frac{x-1}{x+1} \right||_{2}^{4}=10+\frac{1}{2}ln\frac{9}{5} .

в) Бачимо, що даний інтеграл можна проінтегрувати за синусом, тому:

 \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin^{2}x\: cosx\: dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin^{2}d(sinx)}=\frac{sin^{3}x}{3}|^{\frac{\pi }{2}}_{0}=\frac{1}{3} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Жовтень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Вер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031