Задача 1 (Невизначений інтеграл)

Обчислити невизначені інтеграли:

а)  \int \frac{dx}{\left(7-3x \right)^{8}} ;

б)  \int \left(\frac{5}{7x-9}-\frac{4}{cos^{2}3x} +2\right)dx ;

в)  \int \frac{x-2\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx ;

г)  \int 4cos\frac{x}{2}cosxsin\frac{x}{2}dx ;

д)  \int cos^{2}xdx .

♦ а) Запишемо дріб у вигляді степеня. Інтеграл добудемо за правилом інтегрування складеної функції, де зовнішня функція степенева, а внутрішня – лінійна. 

 \int \frac{dx}{\left(7-3x \right)^{8}}=\int \left(7-3x \right)^{-8}dx=-\frac{1}{3}\cdot \frac{\left(7-3x \right)^{-8+1}}{-8+1}+C =

  =-\frac{1}{3}\cdot \frac{\left(7-3x \right)^{-7}}{-7}+C=\frac{1}{21\left(7-3x \right)^{7}}+C .

б) Інтеграл суми добуватимемо як суму інтегралів кожного з доданків: 

 \int \left(\frac{5}{7x-9}-\frac{4}{cos^{2}3x} +2\right)dx=5\cdot \frac{1}{7}\cdot ln\left|7x-9 \right| -  

 -4\cdot \frac{1}{3}tg3x+2x+C=\frac{5}{7}ln\left|7x-9 \right|-\frac{4}{3}tg3x+2x+C .

в) Спростимо підінтегральний вираз та запишемо радикали у вигляді степенів. Візьмемо інтеграл від степеневої функції: 

 \int \frac{x-2\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx=\int \left(\frac{x}{\sqrt[3]{x}} -\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}\right)dx=  

 = \int \left(x^{1-\frac{1}{3}}-2x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} \right)dx=\int \left(x\frac{2}{3}-2x\frac{1}{6} \right)dx =  

 =  \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}-\frac{2x^{\frac{1}{6}+1}}{\frac{1}{6}+1}+C=\frac{3x\frac{5}{3}}{5}-\frac{12x\frac{7}{6}}{7}+C =  

 = \frac{3}{5}\sqrt[3]{x^{5}}-\frac{12}{7}\sqrt[6]{x^{7}}+C=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{12}{7}x\sqrt[6]{x}+C  .

г) Виконаємо перетворення тригонометричних виразів (двічі скористаємося формулою подвійного аргументу). Отримаємо табличний інтеграл: 

 \int 4cos\frac{x}{2}cosxsin\frac{x}{2}dx=\int 2sinxcosxdx=  

 = \int sin2xdx=-\frac{1}{2}cos2x+C .

д) Використаємо формулу пониження степеня для косинуса, розкладемо дріб на доданки. Отримаємо табличні інтеграли:

  \int cos{2}xdx=\int \frac{1+cos2x}{2}dx=  

 = \int \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos 2x \right)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}sinx+C =  

 = \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sinx+C .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930