Задача 1 (Обчислення границь)

Обчислити границі функції:

а)  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+4x}{x} ;

б) \lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{3-x^{2}}{\sqrt{3}-x} ;

в) \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(7x)}{7x} ;

г) \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{10x} .

♦ а)  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+4x}{x}

Винесемо в чисельнику спільний множник х за дужки та скоротимо його зі знаменником. Таким чином, ми позбудемося невизначеності:

  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+4x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(3x+4)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}(3x+4)=3\cdot 0+4=4.

б) \lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{9-x^{2}}{\sqrt{3}-x}

Розкладемо чисельник на множники та скоротимо його зі знаменником, в результаті чого позбудемося невизначеності. 

 \lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{3-x^{2}}{\sqrt{3}-x}=\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)}{\sqrt{3}-x}=

=\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}(\sqrt{3}+x)=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} .

в)  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(7x)}{7x}

Користуючись першою чудовою границею, маємо:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(7x)}{7x}=1 .

г)  \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{10x}

Користуючись другою чудовою границею, отримаємо:

  \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{10x}=\lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{\frac{5x}{12}\cdot 24}=1^{24}=1 .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31