Задача 1 (Обчислення інтегралів)

Обчислити інтеграли і результати перевірити диференціюванням:

а)  \int (\sqrt{t})^{9}dt ;

б) \int 2^{x}\cdot 3^{2x}dx  ;

в)  \int x^{\alpha -1}d\alpha ;

г)  \int (\frac{2}{x^{2}}+\frac{4}{x}-6)dx

д)  \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx .

а) За таблицею інтегралів:

  \int (\sqrt{t})^{9}dt = \int t^{\frac{9}{2}}dt=\frac{2}{11}t^{\frac{11}{2}}+C=\frac{2}{11}\sqrt{t^{11}}+C=\frac{2}{11}t^{5}\sqrt{t}+C .

Перевірка:  (\frac{2}{11}t^{5}\sqrt{t}+C)'=(\frac{2}{11}\sqrt{t^{11}}+C)'=\frac{2}{11}\cdot \frac{11}{2}t^{\frac{9}{2}}=(\sqrt{t})^{9}  .

б) За таблицею інтегралів: 

 \int 2^{x}\cdot 3^{2x}dx = \int 2^{x}\cdot 9^{x}dx=\int 18^{x}dx=\frac{18^{x}}{ln 18}+C .

Перевірка:  (\frac{18^{x}}{ln 18}+C)'=\frac{1}{ln18}\cdot 18^{x}\cdot ln18=18^{x}=2^{x}\cdot 3^{2x} .

в) Інтегрування проводитимо по змінній α, а змінну х вважатимемо сталою Тоді за таблицею інтегралів:

  \int x^{\alpha -1}d\alpha = \int x^{\alpha }x^{-1}d\alpha =x^{-1}\int x^{\alpha }d\alpha=

 =x^{-1}\cdot \frac{x^{\alpha }}{lnx}+C=\frac{x^{\alpha-1 }}{lnx}+C .

Перевірка: (\frac{x^{\alpha-1 }}{lnx}+C)'=\frac{1}{xlnx}\cdot x^{\alpha }\cdot lnx=x^{\alpha -1}  .

г) За правилами інтегрування та таблицею інтегрування: 

 \int (\frac{2}{x^{2}}+\frac{4}{x}-6)dx=2\int x^{-2}dx+4\int \frac{dx}{x}-6\int dx=

 =-\frac{2}{x}+4ln\left|x \right|-6x+C .

Перевірка:  (-\frac{2}{x}+4ln\left|x \right|-6x+C)'=(-2x^{-1})'+(4ln\left|x \right|)'-(6x)'+C'=  =2x^{-2}+\frac{4}{x}-6=\frac{2}{x^{2}}+\frac{4}{x}-6 .

д) У чисельнику дробу додамо та віднімемо 1, а потім поділимо почленно чисельник дробу на його знаменник і скористаємося таблицею інтегралів: 

  \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx = \int \frac{(x^{2}+1)-1}{x^{2}+1}dx = \int dx-\int \frac{dx}{x^{2}+1}=x-arctgx+C .

Перевірка:  (x-arctgx+C)'=1-\frac{1}{1+x^{2}}= \frac{x^{2}}{x^{2}+1} . ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Липень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031