Задача 1 (Обчислення криволінійних інтегралів першого роду)

Обчислити криволінійні інтеграли першого роду:

а)   , де АВ – дуга параболи y = x2 від А (0; 0) до В (1; 1);

б)   , де АВ – дуга кола х+ у2 = 1, розміщена у першій чверті.

♦ а) Знаходимо похідну y’ = 2x і за формулою  \int _{AB}f(x;y)dl = \int_{\alpha }^{\beta }{f(x(t),y(t))}\sqrt{x'^{2}(t)+y'^{2}(t)}dt  дістаємо

 \int _{AB}xdl=\int_{0}^{1}{x\sqrt{1+4x^{2}}dx}=\frac{1}{8}\int_{0}^{1}{(1+4x^{2})^{\frac{1}{2}}d(1+4x^{2})}=

 =\frac{1}{12}\sqrt{(1+4x^{2})^{3}}|_{0}^{1}=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) .

б) Використаємо параметричне задання кола x = cos t, y = sin t. З умови задачі випливає, що 0 ≤ t ≤ π/2. Тоді за формулою  \int _{AB}f(x;y)dl = \int_{a }^{b}{f(x,y(x))}\sqrt{1+y'^{2}(x)}dx  маємо

 \int _{AB}x^{2}ydl=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{cos^{2}tsint\sqrt{sin^{2}t+cos^{2}t}dt}=

 =-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{cos^{2}td(cost)}=-\frac{cos^{3}t}{3}|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{3} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930