Задача 1 (Обчислення поверхневого інтеграла)

Обчислити інтеграл  I = \int _{S}\int (x-2z)dS   по частині площини x + y + z = 1, розміщеної у першому октанті.

♦ Поверхню S задано рівнянням z = 1 – x – y, де функція z та її частинні похідні z’x = – 1, z’y = -1 є неперервними в обмеженій замкненій області D – проекції S на площину ХОY.  Тому заданий інтеграл існує. Обчислимо його за формулою  \int _{S}\int  f(x,y,z)dS=\int _{D}\int f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_{x}'^{2}+z_{y}'^{2}}dxdy

 I=\int _{D}\int (x-2(1-x-y))\sqrt{1+(-1)^{2}+(-1)^{2}}dxdy=

 =\sqrt{3}\int _{D}\int (-2+3x+2y)dxdy=

=\sqrt{3}\int_{0}^{1}{dx}\int_{0}^{1-x}{(-2+3x+2y)dy}=-\frac{\sqrt{3}}{6} . ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930