Задача 1 (Обчислення похідної за означенням)

Обчислити похідну функції, користуючись означенням похідної:

а) f\left(x \right)=e^{3x},\; x_{o}=1 ;

б)f(x)=sin2x .

а) Надамо змінній  х приросту Δх і обчислимо приріст функції Δf(х): f(1+\Delta x)=e^{3(1+\Delta x)},\; \; \Delta f(1)=e^{3(1+\Delta x)}-e^{3}=e^{3}(e^{3\Delta x}-1) .

Складемо відношення приросту функції до приросту аргумента:  \frac{\Delta f(1)}{\Delta x}=\frac{e^{3}(e^{3\Delta x}-1)}{\Delta x}.

Обчислимо границю отриманого відношення, а значить і саму похідну f'(1)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{e^{3}(e^{3\Delta x}-1)}{\Delta x}=3e^{3} .

б) Аналогічно до попереднього випадку:

 f(x+\Delta x)=sin 2(x+\Delta x),

\Delta f\left(x \right)=sin2(x+\Delta x)-sin2x=2sin(\Delta x)\cdot cos(2x+\Delta x);

\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=2\cdot \frac{sin\Delta x}{\Delta x}cos(2x+\Delta x);

 f'(x)=2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin\Delta x}{\Delta x}\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0}cos(2x+\Delta x)=2\cdot 1\cdot cos2x=2cos2x, оскільки cos2x – неперервна функція.

Отже, (sin 2x)’ = 2 cos 2x.♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31