Задача 1 (Площа бічної поверхні піраміди, описаної навколо сфери)

Кут між площиною основи і бічною гранню правильної чотирикутної піраміди дорівнює φ. Площа поверхні сфери, вписаної в піраміду, дорівнює S. Знайти площу бічної поверхні піраміди.

♦ SO – перпендикуляр до площини основи піраміди, О – центр вписаного і описаного навколо квадрата АВСD кола. Побудуємо SK – перпендикуляр до сторони основи AD, тоді за теоремою про три перепендикуляри ОК – перпендикуляр до AD.

Оскільки AD – пряма перетину площин (SAD) i (ABC), SK ⊂(SAD), ОК ⊂ (ABC), SK i OK – перпендикулярні до AD, то ∠SKO – кут між площиною основи та бічною гранню піраміди.

За умовою задачі ∠SKO = φ.

Оскільки вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної сфери розміщений у точці перетину висоти піраміди і бісектриси лінійного кута двогранного кута при її основі.  

Нехай O1 – центр вписаної сфери, тоді ОО1 – радіус цієї сфери. За умовою задачі  4\pi \cdot O_{1}O^{2}=S ;

 O_{1}O=\sqrt{\frac{S}{4\pi }}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi }} .

Із Δ КОО1 (∠О = 900):  KO=OO_{1}\cdot ctg\frac{\varphi }{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi }}\cdot ctg\frac{\varphi }{2} .

 AB=2KO=\sqrt{\frac{S}{\pi }}\cdot ctg\frac{\varphi }{2} ;

 S_{o}=AB^{2}=\frac{S}{\pi }ctg^{2}\frac{\varphi }{2} ;

 S_{6.n.}=\frac{S_{o}}{cos\varphi }=\frac{S\cdot ctg^{2}\frac{\varphi }{2}}{\pi cos\varphi }  .

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930