Задача 1 (Повне дослідження функції, побудова графіка)

Провести повне дослідження функції  f(x)=\frac{x^{2}+4}{x}  та побудувати її графік.

 ♦ 1. Знайдемо область визначення функції: D(f) = (-∞; 0 ) ∪ (0; + ∞). 

Функція непарна, оскільки f(-x) = – f(x)  при  ∀ x ∈ D (f), тому графік симетричний відносно початку координат. А отже, подальше дослідження будемо проводити лише для x > 0. 

Функція неперіодична. Графік функції не перетинає осей координат, оскільки ні х=0 не входить до області визначення, а у не може дорівнювати нулю при жодному значенні х. При x > 0 маємо y > 0, тобто графік функції знаходиться над віссю Ох. Функція неперервна в свої області визначення. А в точці х=0 вона має нескінченний розрив: 

 \lim_{x\rightarrow 0-0}  \frac{x^{2}+4}{x} =-\propto ,\; \lim_{x\rightarrow 0+0}  \frac{x^{2}+4}{x} =+\propto   .

2. З попередніх рівностей випливає, що пряма х = 0 (вісь ординат) є вертикальною асимптотою. Для визначення похилої асимптоти y = kx + b обчислимо коефіцієнти k та b:   k = \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\rightarrow +\propto }  \frac{x^{2}+4}{x} = 1,

 b =  \lim_{x\rightarrow +\propto }(f(x) - kx)=  \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{4}{x}=0 .

Отже, пряма у = х є похилою асимптотою. 

3. Запишемо функцію у вигляді  y = x + \frac{4}{x} , знайдемо її похідну і прирівняємо до нуля. Дістанемо  f'(x) = 1- \frac{4}{x^{2}},\; \frac{x^{2}-4}{x^{2}}=0\Leftrightarrow x^{2}-4=0 . Маємо додатний корінь х = 2.

Дослідимо функцію на екстремум, використовуючи другу похідну: 

 f''(x)=\frac{8}{x^{3}},\; f''(x)>0 . Отже, при х = 2 маємо  f_{min}=4 . На проміжку (0; 2) функція спадає, а на проміжку (2; +∞) – зростає.

4. Оскільки f”(x) > 0 при x > 0, то графік функції на цьому інтервалі опуклий вниз і точок перегину не має.

5. Допоміжні точки (1; 5) та (3; 4). Будуємо графік заданої функції для x > 0, а потім симетрично відображаємо його відносно початку координат. Отримаємо: 

  ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31