Задача 1 (Раціональні та ірраціональні числа)

Показати, що сума раціонального та ірраціонального чисел є число ірраціональне, а сума двох ірраціональних чисел не завжди ірраціональне число.

♦ Нехай r – довільне раціональне число, а і – ірраціональне число. Тоді їх сума матиме вигляд r + і = s. Припустимо, що s – раціональне число. Тоді: і = s – r , що є різницею двох раціональних чисел, а значить теж число раціональне. Маємо суперечність. Отже, і – число ірраціональне.

Для того, щоб довести, що сума двох ірраціональних чисел може бути ірраціональним числом, достатньо навести приклад таких чисел. Наприклад, нехай і1 =7 + \sqrt{2} , а і2 = 7 – \sqrt{2} – ірраціональні числа, тобто такі, які можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного дробу. Проте сума цих чисел матиме вигляд: і+ і2 = 7 + \sqrt{2} + 7 – \sqrt{2} = 7 + 7 =14, що є числом раціональним. ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31