Задача 1 (Визначити довжину медіани та бісектриси)

Знайти довжину медіани СМ та бісектриси ВК  у трикутнику, якщо його вершини задані своїми координатами А(-1;4;2), В(7;1;-3), С(10;-3;-2).

♦Оскільки СМ – медіана, то точка М – це середина сторони АВ заданого трикутника. Тому координати точки М (х1; у1; z1) можемо знайти за формулами координат середини відрізка. Тобто:

 x_{1}=\frac{-1+4}{2}=1.5 ;

 y_{1}=\frac{4+1}{2}=2.5 ;

 z_{1}=\frac{2+3}{2}=2.5 .

Маємо: М (1,5; 2,5; 2,5)

За формулою для обчислення довжини відрізка шукаємо довжину медіани СМ:

  CM = \sqrt{(10-1.5)^{2}+(-3-2.5)^{2}+(-2-2.5)^{2}}=\sqrt{8.5^{2}+(-5.5)^{2}+(-4.5)^{2}}=5\sqrt{4.91}.

Тепер обчислимо довжину бісектриси ВК. За властивістю бісектриси внутрішнього кута трикутника (бісектриса ділить протилежну сторону трикутника на відрізки пропорційні прилеглим бічним сторонам) маємо рівність:  \frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC} .

Знайдемо довжини сторін АВ та АС:

 AB=\sqrt{(-1-7)^{2}+(4-1)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{74}\approx 8.6 ;

 AC=\sqrt{(-1-10)^{2}+(4+3)^{2}+(2+2)^{2}}=\sqrt{186}\approx 13.6 .

Запишемо відношення цих сторін:

 \frac{AB}{AC}=\frac{8.6}{13.6}\approx0.6 .

Це значить, що відношення \frac{BK}{KC}=0,6 . Тобто точка К ділить сторону ВС у відношенні λ=0,6.

Тоді за формулами координат точки, що ділить відрізок у заданому співвідношенні знаходимо координати точки К:

 x_{1} =\frac{4 +0.6\cdot 10}{1+0.6}=6.25;

  x_{1} =\frac{1 +0.6\cdot (-3)}{1+0.6}=-0.5;

 x_{1} =\frac{3 +0.6\cdot (-2)}{1+0.6}=1.125 \Rightarrow K(6.25; -0.5; 1.125) .

За формулою для обчислення довжини відрізка знаходимо довжину бісектриси АК:

 AK = \sqrt{(-1-6.25)^{2}+(4+0.5)^{2}+(2-1.125)^{2}}\approx \sqrt{73.6}\approx 8.6

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31