Задача 1 (Загальний та частинний розв’язки диференціальних рівнянь)

Знайти загальний або частинний розв’язок заданого диференціального рівняння вищого порядку:

а) y”’= cos2x, y(0) = 1/16, y'(0) = 7/8,  y”(0) = -1 ;

б) xy” + y’ = 0 ;

в) yy” = 1 + y’2 ;

г)  y” – yIV =0, y(0) = y'(0) = 1, y”(0) = y“'(0) = 0 .

♦ а) Можна спочатку використати підстановку y“ = z, проінтегрувати задане рівняння z’ = cos2x, знайшовши його загальний розв’язок, а потім повернутися до змінної y” і двічі проінтегрувати його. Після цього треба використати початкові умови для визначення сталих інтегрування C1, C2 та C3. Проте зручніше поступово виконувати інтегрування, використовуючи початкову умову для визначення відповідної сталої.

Отже, маємо

 y''=\int cos^{2}xdx=\frac{1}{2}\int (1+cos2x)dx+C_{1}=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}sin2x)+C_{1}.

Враховуючи початкову умову y”(0) = -1, тобто підставивши одержане значення х = 0 і у” = -1, визначимо С1 = – 1.

Інтегруючи останнє рівняння, в якому С1 = – 1, дістаємо 

 y'=\int (\frac{x}{2}+\frac{1}{4}sin2x-1)dx=\frac{x^{2}}{4}-\frac{cos2x}{8}-x+C_{2}.

Оскільки, y'(0) = 7/8, то С2 = 1. Аналогічно знаходимо

 y=\int (\frac{x^{2}}{4}-\frac{cos2x}{8}-x+1)dx=\frac{x^{3}}{12}-\frac{sin2x}{16}-\frac{x^{2}}{2}+x+C_{3},

Тоді з умови у(0) = 0 дістаємо С3 = 0.

Остаточно маємо такий частинний розв’язок:

 y=\frac{x^{3}}{12}-\frac{x^{2}}{2}+x-\frac{sin2x}{16}. .

б) У заданому рівнянні в явному вигляді відсутня змінна у, тому застосуємо підстановку y’ = z(x). Тоді y” = z’, і задане рівняння набирає вигляду xz’ + z = 0. Маємо рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’яжемо його:

 \frac{dz}{z}=-\frac{dx}{x}\Leftrightarrow ln|z|=-ln|x|+ln|C_{1}|\Leftrightarrow z=\frac{C_{1}}{x}\Leftrightarrow   

 \Leftrightarrow y'=\frac{C_{1}}{x}\Leftrightarrow dy=\frac{C_{1}dx}{x}\Leftrightarrow y=C_{1}ln|x|+C_{2} – загальний розв’язок заданого рівняння.

в) Задане рівняння не містить в явному вигляді змінну х. Тому застосуємо підстановку y’ = z(y). Тоді  y''=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx} (за правилом диференціювання складеної функції) і задане рівняння матиме вигляд

 1+z^{2}=yz\cdot \frac{dz}{dy}\Leftrightarrow \frac{zdz}{1+z^{2}}=\frac{dy}{y}\Leftrightarrow ln(1+z^{2})=

  =2ln|y|+2ln|C_{1}|\Leftrightarrow 1+z^{2}=C_{1}^{2}y^{2}\Leftrightarrow z=\pm \sqrt{C_{1}^{2}y^{2}-1}.

Повертаючись до змінної y’, дістаємо

 y'=\pm \sqrt{C_{1}^{2}y^{2}-1}\Leftrightarrow \frac{dy}{\sqrt{C_{1}^{2}y^{2}-1}}=\pm dx\Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \frac{1}{C_{1}}ln|C_{1}y+\sqrt{C_{1}^{2}y^{2}-1}|=\pm (x+C_{2}).

Це і є загальний розв’язок заданого рівняння.

г) Спочатку скористаємось підстановкою y” = u(x), яка знижує порядок рівняння на дві одиниці, оскільки y”’ = u’, yIV = u” і таке рівняння стане таким: u – u” = 0.

Для цього рівнянняможна застосувати підстановку u’ = z’· z і дістаємо рівняння

 u-z'\cdot z\Leftrightarrow u-\frac{dz}{du}\cdot z=0\Leftrightarrow \int udu-\int zdz=0\Leftrightarrow \frac{u^{2}}{2}-\frac{z^{2}}{2}=C_{1}.

Врахувавши те, що u = y”(x), а z = u'(x) = y’”(x), покладемо х = 0 та дістанемо

 \frac{u^{2}(0)}{2}-\frac{z^{2}(0)}{2}=C_{1} або  \frac{(y'')^{2}(0)}{2}-\frac{(y''')^{2}(0)}{2}=C_{1}\Rightarrow C_{1}=0,

оскільки за умовою y”(0) = y’”(0) = 0. Отже,  \frac{u^{2}}{2}-\frac{z^{2}}{2}=0, , тобто z = ± u. Звідси, пригадавши, що z  = u’, маємо 

 u'=\pm u\Leftrightarrow \frac{du}{dx}=\pm u\Leftrightarrow \frac{du}{u}=\pm dx\Leftrightarrow

 \Leftrightarrow ln|C|+ln|u|=\pm x\Leftrightarrow u=C_{2}e^{\pm x}\Leftrightarrow y''(x)=C_{2}e^{\pm x}.

Оскільки y” (0) = 0, то 0 = С2е0, звідки С2 = 0, тобто у” = 0 ⇔ y’ = C3, проте y'(0) = 1 і тому y’ = 1 ⇔ y = x + C4. Враховуючи тепер умову, що y(0) = 1, дістаємо С4 = 1 і шуканий розв’язок у = х + 1.♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930