Задача 10 (Перевірка системи рівнянь на сумісність)

Перевірити чи є сумісною задана система рівнянь. Якщо так, то знайти її розв’язок.

 \left\{\begin{matrix} x_{1}-3x_{2}+x_{3}+2x_{4}=10,\\ -2x_{1}+5x_{2}+x_{3}-3x_{4}=8,\\ -3x_{1}+4x_{2}+x_{3}+2x_{4}=9,\\ 2x_{1}- x_{2}+4x_{3}-4x_{4}=-1 \end{matrix}\right.

♦ Запишемо основну та розширену матриці системи: 

 A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & 2\\ -2 & 5 & 1 & -3\\ -3 & 4 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 4 & -4 \end{pmatrix}  \bar{A}=\begin{pmatrix} 1 & -3 &1 &2 & | &10 \\ -2 &5 &1 &-3 &| &8 \\ -3& 4 & 1 & 2 & | &9 \\ 2& -1 &4 &-4 &| &-1 \end{pmatrix}

Знайдемо ранги цих систем: 

 \begin{pmatrix} 1 &-3 &1 &2 \\ -2 & 5 & 1 & -3\\ -3 & 4 & 1 &2 \\ 2 &-1 &4 &-4 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо перший рядок матриці на 2 і додамо до другого; на 3 і додамо до третього; на -2 і додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &-3 &1 &2 \\ 0 &-1 & 3 & 1\\ 0 & -5& 4 & 8\\ 0 & 5 & 2 & -8 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо другий рядок на -5 і додамо до третього; на 5 і додамо до четветого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & 3 & 1\\ 0 & 0 &-11 &3 \\ 0 & 0 & 17 & -3 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо другий рядок на -1, а третій на  -\frac{1}{11}  )

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{11}\\ 0 & 0 & 17 & -3 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо третій рядок на 17 і додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &-3 &1 &2 \\ 0 & 1 & -3 &-1 \\ 0 & 0 & 1 & \\ -\frac{3}{11} 0 & 0 & 0 &\frac{18}{11} \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо червертий рядок на  \frac{11}{18} )

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 &2 \\ 0 & 1 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 1 &-\frac{3}{11} \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\Rightarrow Rang(A)=4

 \begin{pmatrix} 1 &-3 &1 &2 & | & 10\\ -2 & 5 & 1 & -3 & | & 8\\ -3 & 4 & 1 & 2 & | & 9\\ 2 & -1 & 4 & -4 & | & -1 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо перший рядок на 2 і додамо до другого; на 3 і додамо до третього; на -2 і додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & 2 & | & 10\\ 0 & -1 & 3 & 1 & | & 28\\ 0 & -5 & 4 & 8 & | & 39\\ 0 & 5 & 2 & -8 & | & -21 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо другий рядок на -1)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 &1 &2 &| &10 \\ 0 & 1 & -3 & -1 &| &-28 \\ 0 & -5 & 4 & 8 & | & 39\\ 0 & 5 & 2 & -8 & | & -21 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо другий рядок на 5 і додамо до третього; на -5 і додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 &1 &2 &| &10 \\ 0& 1 &-3 & -1 &| & -28\\ 0& 0 & -11 & 3 & | & -101\\ 0& 0 & 17 &-3 & | &119 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо третій рядок на  -\frac{1}{11} )

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 &1 &2 &| &10 \\ 0 & 1 &-3 &-1 &| &-28 \\ 0 & 0 & 1 &-\frac{3}{11} & | &\frac{101}{11} \\ 0 & 0 & 17 &-3 & | &119 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо третій рядок на -17 та додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 &1 &2 &| &10 \\ 0 &1 &-3 &-1 &| &-28 \\ 0 & 0 &1 &-\frac{3}{11} &| &\frac{101}{11} \\ 0& 0 & 0 & \frac{18}{11} & | & -\frac{408}{11} \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо четвертий рядок на  -\frac{11}{18} )

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &-3 &1 &2 &| &10 \\ 0 &1 &-3 &-1 & | & -28\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{11} &| & \frac{101}{11}\\ 0 &0 &0 &1 &| & -\frac{68}{3} \end{pmatrix}\Rightarrow Rang(\bar{A)}=4

 Rang(A)=Rang(\bar{A)}\Rightarrow  система сумісна.

Знайдемо її розв’язок. 

 x_{4}=-\frac{68}{3}

 x_{3}-\frac{3}{11}x_{4}=\frac{101}{11}

 x_{3}-\frac{3}{11}\cdot \left(-\frac{68}{3} \right)=\frac{101}{11}

 x_{3}+\frac{68}{11}=\frac{101}{11}\Rightarrow x_{3}=\frac{101}{11}-\frac{68}{11}=\frac{33}{11}=3

 x_{2}-3x_{3}-x_{4}=-28

 x_{2}-3\cdot 3+\frac{68}{3}=-28

 x_{2}=-28+9-\frac{68}{3}=-19-\frac{68}{3}=\frac{-57-68}{3}=-\frac{125}{3}

 x_{1}-3x_{2}+x_{3}+2x_{4}=10

 x_{1}-3\cdot \left(-\frac{125}{3} \right)+3+2\cdot \left(-\frac{68}{3} \right)=10

 x_{1}+125+3-\frac{136}{3}=10

 x_{1}=10-128+\frac{136}{3}=-118+\frac{136}{3}=\frac{-354+136}{3}=-\frac{218}{3}

Виконаємо перевірку: 

 -\frac{218}{3}+125+3-\frac{136}{3}=10\Rightarrow -\frac{354}{3}+128=10\Rightarrow

 \Rightarrow -118+128=10\Rightarrow 10=10;

 \frac{436}{3}+5\cdot \left(-\frac{125}{3} \right)+3+68=8\Rightarrow \frac{436-625}{3}+71=8\Rightarrow

 \Rightarrow -\frac{189}{3}+71=8\Rightarrow -63+71=8\Rightarrow 8=8;

 218-\frac{500}{3}+3-\frac{136}{3}=9\Rightarrow 221-\frac{636}{3}=9\Rightarrow

 \Rightarrow 221-212=9\Rightarrow 9=9;

 -\frac{436}{3}+\frac{125}{3}+12+\frac{272}{3}=-1\Rightarrow \frac{-436+397}{3}+12=-1\Rightarrow

 \Rightarrow -\frac{39}{3}+12=-1\Rightarrow -13+12=-1\Rightarrow -1=-1.

Відповідь:  x_{1}=-\frac{216}{3};\; x_{2}=-\frac{125}{3};\; x_{3}=3;\; x_{4}=-\frac{68}{3} .

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930