Задача 10 (Площа фігури, заданої в полярній системі координат)

Знайти площу фігури, заданої в полярній системі координат

 \rho =\frac{1}{2}+cos\varphi

♦  S=\frac{1}{2}\int_{\alpha }^{\beta }{\rho ^{2}(\varphi )d\varphi }=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }

 {\left(\frac{1}{2}+cos\varphi \right)^{2}d\varphi }=

 =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }{\left(\frac{1}{4}+2cos\varphi +cos^{2} \varphi \right)d\varphi }=

 =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\varphi +2sin\varphi \right)|_{0}^{2\pi }+\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }{\frac{1+cos2\varphi }{2}d\varphi }=

 =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}\cdot 2\pi +2sin2\pi -0-0 \right)+\frac{1}{4}\left(\varphi +\frac{sin2\varphi }{2} \right)|_{0}^{2\pi }=

 =\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{1}{4}\left(2\pi +0-0-0 \right)=

 =\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}\approx 2,4  (кв. од.) ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Червень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930