Задача 10 (Розклад функції в степеневий ряд)

Розкласти функцію в ряд  f(x)=\frac{1}{(1-x^{3})^{2}},\; f(0)=1 та знайти його радіус збіжності.

 f'(x)=6\cdot \frac{x^{2}}{\left(-x^{3}+1 \right)^{3}},\; f'(0)=0,

 f''(x)=54\cdot \frac{x^{4}}{\left(-x^{3}+1 \right)^{4}}+12\cdot \frac{x}{\left(-x^{3}+1 \right)^{3}},\; f''(0)=0,

 f'''(x)=648\frac{x^{6}}{\left(-x^{3}+1 \right)^{5}}+324\frac{x^{3}}{\left(-x^{3}+1 \right)^{4}}+\frac{12}{\left(-x^{3}+1 \right)^{3}},\; f'''(0)=12,

 f(x)=1+\frac{0}{1!}(x-0)+\frac{0}{2!}(x-0)^{2}+\frac{12}{3!}(x-0)^{3}+\frac{0}{4!}(x-0)^{4}+

 \frac{0}{5!}(x-0)^{5}+\frac{2160}{6!}(x-0)^{6}+\frac{0}{7!}(x-0)^{7}+...=

 =1+\frac{12}{3!}x^{3}+\frac{2160}{6!}x^{6}+...=1+2x^{3}+3x^{6}+...=

 =\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)x^{3n}} .

Отже,  f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)x^{3n}} .

 a_{n}=n+1 ,

 a_{n+1}=n+2 .

 R=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n+2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n(1+\frac{2}{n})}=1 . ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitasсчетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама