Задача 11 (Дії над комплексними числами)

Задано два комплексних числа  z_{1}=-3-i та  z_{2}=2+i . Обчислити в тригонометричній та показниковій формах а)  z_{1}\cdot z_{2}; ; б)  \frac{z_{1}}{z_{2}}; ; в)  z_{1}^{6}. .

 z_{1}=-3-i;

 x=-3,\; y=-1;

 z_{2}=2+i;

 x=2,\; y=1;

 \left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(-3 \right)^{2}+\left(-1 \right)^{2}}=\sqrt{10};

 \left|z_{2} \right|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5};

 arg\: z_{1}=arctg\frac{y}{x}-\pi =arctg\frac{1}{3}-\pi ;

 arg\: z_{2}=arctg\frac{1}{2};

 z_{1}=\sqrt{10}\left(cos\left(arctg\frac{1}{2}-\pi  \right)+isin\left(arctg\frac{1}{3}-\pi  \right) \right);

 z_{2}=\sqrt{5}\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)+isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right);

 z_{1}=\sqrt{10}e^{\left(arctg\frac{1}{3}-\pi  \right)i};

 z_{2}=\sqrt{5}e^{\left(arctg\frac{1}{2} \right)i};

а)  z_{1}\cdot z_{2}=\sqrt{50}\left(cos\left(arctg\frac{1}{3}-\pi +arctg\frac{1}{2} \right) \right)+

 + isin\left(arctg\frac{1}{3}+arctg\frac{1}{2}-\pi  \right);

 z_{1}\cdot z_{2}=5\sqrt{2}e^{\left(arctg\frac{1}{3}+arctg\frac{1}{2}-\pi  \right)i}

б)  \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\sqrt{10}\left(cos\left(arctg\frac{1}{2}-\pi  \right)+isin\left(arctg\frac{1}{3}-\pi  \right) \right)}{\sqrt{5}\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)+isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)}=

 =\sqrt{2}\frac{\left(cos\left(arctg\frac{1}{2}-\pi  \right)+isin\left(arctg\frac{1}{3}-\pi  \right) \right)\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)+isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)}{\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)+isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)-isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)}=

 =\sqrt{2}\frac{\left(cos\left(arctg\frac{1}{2}-\pi  \right)+isin\left(arctg\frac{1}{3}-\pi  \right) \right)\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)+isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)}{\left(cos^{2}\left(arctg\frac{1}{2} \right)+sin^{2}\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)}=

 =\sqrt{2}\left(cos\left(arctg\frac{1}{3}-arctg\frac{1}{2}-\pi  \right) +isin\left(arctg\frac{1}{3}-arctg\frac{1}{2}-\pi  \right)\right);

 \frac{z_{1}}{z_{2}}=\sqrt{2}e^{\left( arctg\frac{1}{3}-arctg\frac{1}{2}-\pi \right)i}.

в)  z^{6}=\left|z \right|^{6}\left(cosn\varphi +isinn\varphi  \right);

 z_{1}^{6}=\left(\sqrt{10} \right)^{6}\left(cos6\left(arctg\frac{1}{3}-\pi  \right)+isin6\left(arctg\frac{1}{3}-\pi  \right) \right)=

 =1000\left(cos\left(6arctg\frac{1}{3}-6\pi  \right)+isin\left(6arctg\frac{1}{3}-6\pi  \right) \right).

Leave a Reply

Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Зараз на сайті
Реклама

Підписатись на сайт

Введіть свою електронну адресу, щоб підписатися на цей сайт і отримувати сповіщення про нові публікації електронною поштою.

Реклама