Задача 11 (Фундаментальний розв’язок системи рівнянь)

Знайти фундаментальний розв’язок системи рівнянь

 \left\{\begin{matrix} x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-4x_{4}+2x_{5}=0,\\ x_{1}+2x_{2}-x_{3}-x_{5}=1,\\ x_{1}-x_{3}+2x_{3}-3x_{4}=-1,\\ 4x_{2}-x_{3}+x_{4}-2x_{5}=-1. \end{matrix}\right.

♦ Складемо матрицю системи:

 \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & 2 & | & 0\\ 1 & 2 & -1 &0 & -1 & | & 1\\ 1 & -1 & 2 & -3 &0 & | & -1\\ 0 & 4 & -1 & 1 & -2 & | & -1 \end{pmatrix} \rightarrow  (домножаємо перший рядок матриці на -1 та додаємо до другого і третього рядків)

\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 &2 & | &0 \\ 0& 4 & -4 & 4 & -3 & | & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & | & -1\\ 0 & 4 & -1 &1 & -2 & | & -1 \end{pmatrix}\rightarrow   (домножаємо третій рядок на -4 та додаємо до другого і четвертого рядків)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & 2 & | & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & | & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & | & 5\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 6 & | & 3 \end{pmatrix}\rightarrow (домножаємо третій рядок на   \frac{1}{5} , а четвертий на  \frac{1}{3} )

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & | & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & | & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}

 x_{5}=1,

 x_{3}-x_{4}+2x_{5}=1,

 x_{3}-x_{4}+2=1,

 x_{3}=x_{4}-1,

 x_{2}-x_{3}+x_{4}-2x_{5}=-1,

 x_{2}-x_{4}+1+x_{4}-2=-1,

 x_{2}=0,

 x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-4x_{4}+2x_{5}=0,

 x_{1}-2\cdot 0+3(x_{4}-1)-4x_{4}+2\cdot 1=0,

 x_{1}+3x_{4}-3-4x_{4}+2=0,

 x_{1}=1+x_{4}

Отже:  x_{1}=1+x_{4},\; x_{2}=0,\; x_{3}=x_{4}-1,\; x_{4},\; x_{5}=1,\; x_{4}\in R   – фундаментальний розв’язок заданої системи рівнянь.

Відповідь:  (1+x_{4},\; 0,\; x_{4}-1,\; x_{4},\; 1),\; x_{4}\in R

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930