Задача 11 (Обчислення площі фігури)

Знайти площу фігури, обмеженої лініями:

а)  2y=\sqrt{x}   2xy=1  x=16 ;

 б)  x^{2}+2x+y^{2}=0,\; y=0 ,  x^{2}+4x+y^{2}=0,\; y=\sqrt{3}x  .

♦ а) Запишемо задані фунуції у явному вигляді:  y=\frac{\sqrt{x}}{2} ,  y=\frac{1}{2x} .

Зобразимо фігуру, площу якої необхідно знайти:

Для обчислення площі використаємо подвійний інтеграл: 

 S=\int \int _{\Phi }dxdy=\int_{1}^{16}{dx}\int_{\frac{1}{2x}}^{\frac{\sqrt{x}}{2}}{dy}=\int_{1}^{16}{dx}\left(\frac{\sqrt{x}}{2} -\frac{1}{2x}\right)=

 =\frac{1}{2}\int_{1}^{16}{\left(\sqrt{x} \frac{1}{x}\right)dx}=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-ln\left|x \right| \right)|_{1}^{16}=

 =\left(\frac{\sqrt{x}^{3}}{3}-ln\left|x \right| \right)|_{1}^{16}=\frac{4^{3}}{3}-ln16-\frac{1}{3}+ln1=

 =\frac{64}{3}-\frac{1}{3}-ln16=21-ln16\approx 21-2,8=18,2  (кв.од.).

б) Визначимо вид кривих, що задані, використавши виділення повного квадрата:

 x^{2}+2x+1+y^{2}=1 ,  \left(x+1 \right)^{2}+y^{2}=1 та  x^{2}+4x+4+y^{2}=4 ,  \left(x+2 \right)^{2}+y^{2}=2^{2}  .

Це кола з центарми у точках (-1; 0), (-2; 0) та радіусами 1 і 2 відповідно. Зобразимо їх в системі координат: 

Знайдемо точки перетину кола  x^{2}+2x+y^{2}=0 з прямою   y=\sqrt{3}x :

 x^{2}+2x+\left(\sqrt{3}x \right)^{2}=0 ,

 x^{2}+2x+3x^{2}=0 ,

 4x^{2}+2x=0 ,

 2x(2x+1)=0 ,

 x_{1}=0,\; x_{2}=-0,5  . 

Використаємо подвійний інтеграл для обчислення площі отриманої фігури:

 S=\int \int _{\Phi }dxdy=\int_{-4}^{-2}{dx}\int_{-\sqrt{-x^{2}-4x}}^{0}{dy}+\int_{-2}^{-1}{dx}\int_{-\sqrt{-x^{2}-4x}}^{-\sqrt{-x^{2}-2x}}{dy}+ ,

 +\int_{-1}^{-0,5}{dx}\int_{\sqrt{3}x}^{-\sqrt{-x^{2}-2x}}{dy}=

 \int_{-4}^{-2}{dx}\int_{-\sqrt{-x^{2}-4x}}^{0}{dy}=\int_{-4}^{-2}{\sqrt{-x^{2}-4x}dx}=\int_{-4}^{-2}{\sqrt{4-\left(x+2 \right)^{2}}dx}= ,

 =\frac{x+2}{2}+\frac{2^{2}}{2}arcsin\frac{x+2}{2}|_{-4}^{-2}=0+2\cdot arcsin0-(-1)\cdot 0-2arcsin(-1)=

  = 0+\pi =\pi  ,

 \int_{-2}^{-1}{dx}\int_{-\sqrt{-x^{2}-4x}}^{-\sqrt{-x^{2}-2x}}{dy}=\int_{-2}^{-1}{\left(-\sqrt{-x^{2}-2x}+\sqrt{-x^{2}-4x} \right)dx}= ,

 =\int_{-2}^{-1}{\left( \sqrt{4-\left(x+2 \right)^{2}}-\sqrt{1-\left(x+2 \right)^{2}}\right)dx}= ,

 =\int_{-2}^{-1}\sqrt{4-\left(x+2 \right)^{2}}dx-\int_{-2}^{-1}\sqrt{1-\left(x+2 \right)^{2}}dx= ,

 =\left(\frac{x+2}{2}\sqrt{4-\left(x+2 \right)^{2}} +\frac{4}{2}arcsin\frac{x+2}{2}\right)|_{-2}^{-1}= ,

 =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}+2\cdot arcsin\frac{1}{2}-0-2arcsin0- ,

 -\left(0\cdot \sqrt{0}+arcsin0+\frac{1}{1}\cdot \sqrt{0}-\frac{1}{2}arcsin\left(-1 \right) \right)=\frac{\pi }{4}  ,

 \int_{-0,5}^{-1}{dx}\int_{\sqrt{3}x}^{-\sqrt{-x^{2}-2x}}{dy}=\int_{-0,5}^{-1}{\left(-\sqrt{-x^{2}-2x} -\sqrt{3}x\right)dx}= ,

 =-\int_{-0,5}^{-1}{\sqrt{1-\left(x+1 \right)^{2}}dx}-\sqrt{3}\int_{-0,5}^{-1}{xdx}= ,

 =\left(\frac{x+1}{1}\sqrt{1-\left(x+1 \right)^{2}}+\frac{1}{2}arcsin\frac{x+1}{1} \right)|_{-0,5}^{-1}-\sqrt{3}\cdot \frac{x^{2}}{2}|_{-0,5}^{-1}= ,

 =0+\frac{1}{2}arcsin0-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}arcsin\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{8}=-\frac{5\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi }{12} ,

 S=\pi +\frac{\pi }{4}-\frac{5\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi }{12}=\frac{14\pi }{12}-\frac{5\sqrt{3}}{8}=\frac{7\pi }{6}-\frac{5\sqrt{3}}{8}\approx  ,

 \approx 3,7-1,06=2,63 .  ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Травень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031