Задача 11 (Записати подвійний інтеграл в вигляді повторних інтегралів)

Для вказаної області D:

1) записати подвійний інтеграл   \int \int _{D}f(x,y)dxdy у вигляді повторних інтегралів, взятихв різних порядках;

2) обчислити інтеграл для заданої функції f(x;y).

♦ Зобразимо область інтегрування: 

1) Розпишемо подвійний інтеграл, проінтегрувавши його спочатку по змінній у, а потім по змінній х. Як видно із рисунка межі інтегрування по змінній у від прямої у = х  до кривої у = х2. По змінній х  – від  х = 1 до х = 3. Тому подвійний інтеграл запишеться:  \int \int _{D}f(x,y)dxdy=\int_{1}^{3}{dx}\int_{x}^{x^{2}}{f(x,y)dy} .

Тепер проінтегруємо подвійний інтеграл спочатку по змінній х, а потім по змінній у. Для цього розіб’ємо область інтегрування на дві криволінійні трапеції: D1 та  D2. Як бачимо, для області D1 межі інтегрування: по змінній х – від кривої х = √у до х = у, а по змінній у – від у = 0 до у = 3. Для області D2 межі інтегрування: по змінній х – від кривої х = √у до х = 3, а по змінній у – від у = 3 до у = 9. Тобто подвійний інтеграл запишеться наступним чином:  \int \int _{D}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{3}{dy}\int_{\sqrt{y}}^{y}{f(x,y)dx}+\int_{3}^{9}{dy}\int_{\sqrt{y}}^{3}{f(x,y)dx} .

2) Обчислимо інтеграл для заданої функції:

  \int_{1}^{3}{dx}\int_{x}^{x^{2}}{\left(x-\frac{y}{x^{2}} \right)dy}=\int_{1}^{3}{dx}\left(xy-\frac{y^{2}}{2x^{2}} \right)|_{x}^{x^{2}}=

 =\int_{1}^{3}{\left(x^{3} - \frac{x^{4}}{2x^{2}}-x^{2}+\frac{x^{2}}{2x^{2}}\right)dx} = \int_{1}^{3}{\left(x^{3} -\frac{x^{2}}{2}-x^{2}+\frac{1}{2}\right)dx} =

 =\int_{1}^{3}{\left( x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}\right)dx}=\left(\frac{x^{4}}{4}-\frac{3x^{3}}{2\cdot 3}+\frac{1}{2}x \right)|_{1}^{3}=

 =\frac{3^{4}}{4}-\frac{3^{3}}{2}+\frac{3}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{80}{4}-\frac{24}{2}=20-12=8  . ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930