Задача 12 (Інтегрування тригонометричних виразів)

Обчислити інтеграл  \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xsin^{2}xdx}

♦  \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xsin^{2}xdx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cdot \frac{1-cos2x}{2}dx}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left(x-xcos2x \right)dx}=

  =\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xdx}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xcos^{2}xdx}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{2}}{2}|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-

 -\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xcos^{2}xdx}=\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xcos^{2}xdx} .

Останній інтеграл проінтегруємо частинами.

В якості U(X) вибираємо функцію U(x) = x. Вона спроститься при диференціюванні, тобто dU = dx. Тоді  cos2xdx=V'(x)dx .

Знайдемо V(x) \int cos2xdx=\frac{1}{2}sin2x+C . Візьмемо одну із первісних   V(x)=\frac{1}{2}sin2x.

Застосувавши формулу інтегрування частинами, отримаємо: 

 =\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{2}\left(x\cdot \frac{1}{2}sin2x|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{2}sin2x}dx \right)=

 =\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot sin \pi -0+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot cos2x|_{0}^{\frac{\pi }{2}}\right)=

  =\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{2}\left(0+\frac{1}{4}\left(cos\pi -cos0 \right) \right)=

  =\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot \left(-1-1 \right)=\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{8}\cdot \left(-2 \right)=\frac{\pi ^{2}}{16}+\frac{1}{4}  

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Серпень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лип    
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031