Задача 12 (Обчислення маси пластинки)

Пластинка D задана кривими, які її обмежують. γ – поверхнева густина. Знайти масу пластинки.

D: x= 4y, x = 0

    y = 1 (x ≥ 0) 

γ = x + 5y2

y = 4/x2

♦ Зобразимо на графіку криві, які обмежують задану пластинку.


Використовуючи формулу для обчислення маси через подвійний інтеграл, запишемо:

 m = \int \int _{D}\gamma (x;y)dxdy=\int \int _{D_{1}}\gamma (x;y)dxdy+\int \int _{D_{2}}\gamma (x;y)dxdy=

 =\int_{1}^{+\infty}{dy}\int_{0}^{2\sqrt{y}}{\left(x+5y^{2} \right)dx}+\int_{2}^{+\infty}{dx}\int_{\frac{4}{x^{2}}}^{1}{\left(x+5y^{2} \right)dy}=I_{1}+I_{2}

 I_{1}=\int_{1}^{+\infty}{dy}\int_{0}^{2\sqrt{y}}{\left(x+5y^{2} \right)dx}=\int_{1}^{+\infty}{dy\left(x^{2}+5xy^{2} \right)}|_{0}^{2\sqrt{y}}=

 =\int_{1}^{+\infty}{\left(4y+5\sqrt{y}\cdot y^{2} \right)dy}=\left(\frac{4y^{2}}{2}+\frac{2\cdot 5\cdot y^{\frac{7}{2}}}{7} \right)|_{1}^{\infty}=

 =2y^{2}+\frac{10}{7}y^{\frac{7}{2}}|_{1}^{\infty}=\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(2b^{2}+\frac{10}{7}b^{3}\sqrt{b}-2 -\frac{10}{7}\right)=\infty

 I_{2}=\int_{2}^{+\infty}{dx}\int_{\frac{4}{x^{2}}}^{1}{\left(x+5y^{2} \right)dy}=\int_{2}^{+\infty}{\left(xy+\frac{5y^{3}}{3} \right)}|_{\frac{4}{x^{2}}}^{1}=

 =\int_{2}^{+\infty}{\left(x+\frac{5}{3}-\frac{4}{x}-\frac{5}{3}\cdot \frac{64}{x^{6}} \right)dx}=

 =\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{5}{3}x-4ln\left|x \right|-\frac{320}{3}\cdot \frac{1}{-5x^{5}} \right)|_{2}^{+\infty}=

 =\lim_{b\rightarrow \infty}\left(\frac{b^{2}}{2}+\frac{5}{3}b-4ln\left|b \right| +\frac{64}{3b^{5}}-2-\frac{10}{3}+4ln2-\frac{64}{3\cdot 32}\right)=

 =\lim_{b\rightarrow \infty}\left(\frac{b^{2}}{2}+\frac{5b}{3}-4ln\left|b \right| +\frac{64}{3b^{5}}+4ln2-6\right)=\infty

 m=I_{1}+I_{2}=\infty+\infty=\infty  

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31