Задача 12 (Дії над векторами)

Задано точки А(2; 4; 5), В(1; -2; 4) та С(-1; -2; 4). Знайти:

а) координати вектора  \vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC} , його довжину,  напрямні косинуси та орт-вектор;

б) скалярний добуток векторів  \vec{a} та  \vec{b}=\vec{BC} ;

в) проекцію вектора   \vec{c}=\vec{BC} на вектор  \vec{d}=\vec{BA} ;

г) координати точки М, яка ділить відрізок ВС у відношенні α:β = 1:1.

♦ a)  \vec{AC}=\left(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A}; z_{C}-z_{A}\right)=

 =\left(-1-2;-2-4;4-5 \right)=\left(-3;-6;-1 \right);

 \vec{AB}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A}; z_{B}-z_{A}\right)=

 =\left(1-2;-2-4;3-5 \right)=\left(-1;-6;-2 \right);

 3\vec{AB}=\left(-3;-18;-6 \right);

 4\vec{AC}=\left(-12;-24;-4 \right);

 \vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC}=\left(x_{3\vec{AB}}-x_{4\vec{AC}};y_{3\vec{AB}}-y_{4\vec{AC}}; z_{3\vec{AB}}-z_{4\vec{AC}}\right)=

 =\left(-3+12;-18+24;-6+4 \right)=\left(9;6;-2 \right);

 \left|\vec{a} \right|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}=\sqrt{9^{2}+6^{2}+(-2)^{2}}=

 =\sqrt{81+36+4}=\sqrt{121}=11.

 \left|\vec{a} \right|=11 – довжина  вектора а.

Напрямні косинуси:

 cos\alpha =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|};

 cos\beta =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|};

 cos\gamma =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|}; .

Значить  \vec{a_{0}}=\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\left(\frac{9}{11};\frac{6}{11};-\frac{2}{11} \right) – орт вектора а.

б)  \vec{a}\cdot \vec{b}=?

 \vec{a}=\left(9;6;-2 \right)

 \vec{b}=\vec{BC}=\left(x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B}; z_{C}-z_{B}\right)=

 =\left(-1-1;-2+2;4-3 \right)=\left(-2;0;1 \right)

 \vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}=

 =9\cdot (-2)+6\cdot 0+(-2)\cdot 1=

 =-18+0-2=-20.

 cos\varphi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|}=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{(-2)^{2}+0+1^{2}}}=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{5}=-\frac{4\sqrt{5}}{11}}\approx -0,81;

 \varphi =arccos\left(-0,81 \right)=\pi -arccos0,81=180^{0}-36^{0}=144^{0}. .

в)  \vec{c}=\vec{BC}=\left(-2;0;1 \right)

 \vec{d}=\vec{BA}=(x_{A}-x_{B};y_{A}-y_{B};z_{A}-z_{B})=

 =\left(2-1;4+2;5-3 \right)=\left(1;6;2 \right)

 np\frac{\vec{c}}{\vec{d}}=\frac{\vec{c}\vec{d}}{\left|\vec{d} \right|}=\frac{\left(-2;0;1 \right)\left(1;6;2 \right)}{\sqrt{1^{2}+6^{2}+2^{2}}}=\frac{-2+0+2}{\sqrt{1+36+4}}=\frac{0}{\sqrt{41}}=0  .

г)  x_{M}=\frac{x_{B}+\lambda x_{C}}{1+\lambda };

 y_{M}=\frac{y_{B}+\lambda y_{C}}{1+\lambda };

 z_{M}=\frac{z_{B}+\lambda z_{C}}{1+\lambda };

 x_{M}=\frac{1+1\cdot (-1)}{1+1}=\frac{0}{2}=0;

 y_{M}=\frac{-2+1\cdot (-2)}{1+1}=-\frac{4}{2}=-2;

 z_{M}=\frac{3+1\cdot 4}{1+1}=\frac{7}{2}=3,5 .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitasсчетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама