Задача 13 (Інтегрування ірраціональних виразів)

Обчислити інтеграл  \int_{0}^{3}{arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}dx}

♦  \int_{0}^{3}{arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}dx}=

Застосуємо підстановку  arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}=t , тоді 

 \sqrt{\frac{x}{1+x}}=sint\Rightarrow \frac{x}{1+x}=sin^{2}t\Rightarrow

 \Rightarrow \frac{1+x-1}{1+x}=sin^{2}t\Rightarrow 1-\frac{1}{1+x}=sin^{2}t\Rightarrow

 \Rightarrow \frac{1}{1+x}=1-sin^{2}t=cos^{2}t\Rightarrow 1+x=\frac{1}{cos^{2}t}\Rightarrow

 \Rightarrow x=\frac{1}{cos^{2}t}-1=\frac{1-cos^{2}t}{cos^{2}t}=\frac{sin^{2}t}{cos^{2}t}=tg^{2}t .

Значить  x=tg^{2}t . Звідси,  dx=2tgt\cdot \frac{1}{cos^{2}t}dt .

Знайдемо значення t1 i t2

 t_{1}=arcsin\sqrt{\frac{0}{0+1}}=arcsin0=0;

 t_{2}=arcsin\sqrt{\frac{3}{3+1}}=arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}

Підставляючи всі отримані значення в інтеграл, отримаємо: 

 =\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{t\cdot 2tgt\cdot \frac{1}{cos^{2}t}dt}= .

Використовуючи метод інтегрування частинами:  U(x)=t\Rightarrow dU=dt

 \frac{tgt}{cos^{2}t}dt=dV\Rightarrow V=\int \frac{tgt}{cos^{2}t}dt=

 =\int \frac{sint}{cos^{3}t}dt=-\int \frac{d(cost)}{cos^{3}t}=-\frac{cos^{-2}t}{-2}=\frac{1}{2cos^{2}t}

Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо: 

 =t\cdot \frac{1}{2cos^{2}t}|_{0}^{\frac{\pi }{3}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{dt}{2cos^{2}t}}=

 =\frac{\pi }{3}\cdot \frac{1}{2cos^{2}\frac{\pi }{3}}-0\cdot \frac{1}{2cos0}-\frac{1}{2}tgt|_{0}^{\frac{\pi }{3}}=

 =\frac{\pi }{3}\cdot \frac{1}{2\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{2}}-0-\frac{1}{2}\left(tg\frac{\pi }{3} -tg0\right)=

 =\frac{\pi }{3}\cdot 2-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930