Задача 14 (Дослідження невласного інтеграла на збіжність)

Перевірити інтеграл на збіжність  \int_{2}^{+\infty}{\frac{3^{xdx}}{3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3}}

♦  \int_{2}^{+\infty}{\frac{3^{xdx}}{3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3}}=\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{2}^{b}{\frac{3^{xdx}}{3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3}}=

 =\begin{vmatrix} 3^{x}=t\\ 3^{x}ln3dx=dt\\ 3^{x}dx=\frac{dt}{ln3} \end{vmatrix}=\frac{1}{ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}{\frac{tdt}{t^{2}-4t+3}}=

 =\frac{1}{ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}{\frac{tdt}{\left(t-1 \right)\left(t-3 \right)}}=

Розкладемо підінтегральний вираз на елементарні дроби (t = 1 i t = 3 – корені многочлена t2 – 4t + 3):  

 \frac{A}{t-1}+\frac{B}{t-3}=\frac{t}{t^{2}-4t+3}

 At-3A+Bt-B=t

 \left(A+B \right)t+\left(-3A-B \right)=t

 \left\{\begin{matrix} A+B=1,\\ -3A-B=0; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A-3A=1,\\ B=-3A; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2A=1,\\ B=-3A; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=-\frac{1}{2},\\ B=\frac{3}{2}. \end{matrix}\right.

Значить, маємо інтгерал: 

 =\frac{1}{ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}{\left(-\frac{1}{2\left(t-1 \right)}+\frac{3}{2\left(t-3 \right)} \right)dt}=

 =\frac{1}{ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{2}\int_{0}^{b}{\frac{dt}{t-1}}+\frac{3}{2}\int_{0}^{b}{\frac{dt}{\left(t-3 \right)}} \right)=

 =\frac{1}{ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{2}ln\left|t-1 \right||_{0}^{b}+\frac{3}{2}ln\left|t-3 \right| |_{0}^{b}\right)=

 =\frac{1}{2ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(\left(ln\left|3^{x} -3\right|^{3} -ln\left|3^{x}-1 \right|\right)|_{0}^{b} \right)=

 =\frac{1}{2ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}ln\left|\frac{3^{x}-3}{3^{x}-1} \right||_{0}^{b}=

 =\frac{1}{2ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(ln\left|\frac{3^{b}-3}{3^{b}-1} \right| -ln\left|\frac{3^{0}-3}{3^{0}-1} \right|\right)=

 =\frac{1}{2ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(ln\left|1 -\frac{2}{3^{b}-1}\right|-ln\frac{2}{0} \right)=-\infty .

Отже, невласний інтеграл розбігається. ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31