Задача 14 (На всі дії з координатами)

Задано точки їхніми координатами А(2; 4; 5), В(1; -2; 3), С(-1; -2; 4). Знайти:

а) координати вектора  \vec{a} , його напрямні косинуси та орт-вектор;

б) скалярний добуток  \vec{a}\cdot \vec{b} ;

в) проекцію вектора  \vec{c} на вектор  \vec{d} ;

г) кординати точки, що поділяє відрізок ВС у відношенні α:β,

якщо  \vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC},  \vec{b}=\vec{BC} ,  \vec{c}=\vec{BC} ,  \vec{d}=\vec{BA} , α:β = 1:1/

♦ a)  \vec{AC}=\left(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A};z_{C}-z_{A} \right)=

 =\left(-1-2;-2-4;4-5 \right)=\left(-3;-6;-1 \right) ;

 \vec{AB}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A} \right)=

 =\left(1-2;-2-4;3-5 \right)=\left(-1;-6;-2 \right) ;

 3\vec{AB}=\left(-3;-18;-6 \right) ;

 4\vec{AC}=\left(-12;-24;-4 \right)

 \vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC}=\left(x_{3\vec{AB}}-x_{4\vec{AC}}; y_{3\vec{AB}}-y_{4\vec{AC}}; z_{3\vec{AB}}-z_{4\vec{AC}}\right)=

 =\left(-3+12;-18+24;-6+4 \right)=\left(9;6;-2 \right)

 \left|\vec{a} \right|=\sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}=\sqrt{9^{2}+6^{2}+\left(-2 \right)^{2}}=

 =\sqrt{81+36+4}=\sqrt{121}=11

 \left|\vec{a} \right|=11 – модуль вектора  \vec{a}. Як обчислити модуль вектора можна переглянути тут.

Напрямні косинуси:  cos\alpha =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{9}{11} ;  cos\beta =\frac{y_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{6}{11} ;  cos\gamma =\frac{z_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{-2}{11} .

Як обчислювати скалярний добуток векторів можна переглянути тут.

Значить  \vec{a_{0}}=\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\left(\frac{9}{11};\frac{6}{11};-\frac{2}{11} \right) – орт вектора  \vec{a} .

б)  \vec{a}\cdot \vec{b}=?

 \vec{a}\left(9;6;-2 \right);

 \vec{b}=\vec{BC}=\left(x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B};z_{C}-z_{B} \right)=

 =\left(-1-1;-2+2;4-3 \right)=\left(-2;0;1 \right)

 \vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}=

 =9\cdot (-2)+6\cdot 0+(-2)\cdot 1=

 =-18+0-2=-20

 cos\varphi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|}=

 =\frac{-20}{11\cdot \sqrt{(-2)^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{5}}=-\frac{4\sqrt{5}}{11}\approx -0,81 ;

 \varphi =arccos\left(-0,81 \right)=\pi -arccos0,81=180^{0}-36^{0}=144^{0} .

в)  \vec{c}=\vec{BC}=\left(-2;0;1 \right) ;

 \vec{d}=\vec{BA}=\left(x_{A}-x_{B};y_{A}-y_{B};z_{A}-z_{B} \right)=

 =\left(2-1;4+2;5-3 \right)=\left(1;6;2 \right) ;

пр \frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\left|\vec{d} \right|}=\frac{\left(-2;0;1 \right)\left(1;6;2 \right)}{\sqrt{1^{2}+6^{2}+2^{2}}}=

 =\frac{-2+0+2}{\sqrt{1+36+4}}=\frac{0}{\sqrt{41}}=0 .

г)  x_{M}=\frac{x_{B}+\lambda x_{C}}{1+\lambda };

 y_{M}=\frac{y_{B}+\lambda y_{C}}{1+\lambda };

 z_{M}=\frac{z_{B}+\lambda z_{C}}{1+\lambda };

 x_{M}=\frac{1+1\cdot \left(-1 \right)}{1+1}=\frac{3}{2}=0;

 y_{M}=\frac{-2+1\cdot \left(-2 \right)}{1+1}=\frac{-4}{2}=-2;

 z_{M}=\frac{3+1\cdot 4}{1+1}=\frac{7}{2}=3,5

Отже, т. М (0; -2; 3,5).♦

 

Leave a Reply

Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Зараз на сайті
Реклама

Підписатись на сайт

Введіть свою електронну адресу, щоб підписатися на цей сайт і отримувати сповіщення про нові публікації електронною поштою.

Реклама