Задача 14 (Знайти середнє значення функції U = U(x; y; z) в заданній області V)

Знайти середнє значення функції U = U(x; y; z) в заданній області V: 

 U = y^{2}zcos(\frac{1}{3}xyz) ,

 V: \begin{matrix} z = 2\pi, & y=1, & x=3\\ z=0, & y=0, & x=0 \end{matrix} .

♦  U_{c}=\frac{1}{V}\int \int \int _{V}U(x,y,z)dxdydz ,

 V=2\pi \cdot 1\cdot 3=6\pi  (куб. од.), 

 U_{c}=\frac{1}{6\pi }\int_{0}^{1}{dy}\int_{0}^{2\pi }{dz}\int_{0}^{3}{y^{2}zcos(\frac{1}{3}xyz)dx} = ,

 =\frac{1}{6\pi }\int_{0}^{1}{dy}\int_{0}^{2\pi }{dz}\left(y^{2}z\frac{sin\left(\frac{1}{3}xyz \right)}{\frac{1}{3}yz} \right)|_{0}^{3}= ,

 =\frac{1}{6\pi }\int_{0}^{2\pi }{dz\left(3ysin\left(yz \right) \right)}= ,

 =\frac{1}{6\pi }\int_{0}^{1}{dy}\int_{0}^{2\pi }{3ysin\left(yz \right)dz}= ,

  =\frac{1}{6\pi }\int_{0}^{1}{dy}\cdot 3y\cdot \frac{-cos(yz)}{y}|_{0}^{2\pi }= ,

 =\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{1}{\left(-cos(2\pi y)+1 \right)dy}= ,

 =\frac{1}{2\pi }\left(y-\frac{sin2\pi y}{2\pi } \right)|_{0}^{1}= ,

 =\frac{1}{2\pi }\left(1-\frac{sin2\pi }{2\pi }-0+\frac{sin0}{2\pi } \right)=\frac{1}{2\pi } (куб. од.)♦

Leave a Reply

Banggood WW MOYO UA Rozetka UA
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
UserOnline
Bonprix UA Будинок іграшок UA

https://www.shutterstock.com/g/Tatiana04?rid=240163364&utm_medium=email&utm_source=ctrbreferral-link Pampik UA
Foxtrot UA
Eldorado UA
Moneyveo [CPS] UA
Альфа-Банк [CPL] UA