Задача 15 (Обчислення невласного інтеграла)

Перевірити чи збігається інтеграл. Якщо так, то обчислити його значення.

 \int_{0}^{2}{\sqrt{\frac{arcsin\frac{x}{2}}{4-x^{2}}}dx}

♦  \int_{0}^{2}{\sqrt{\frac{arcsin\frac{x}{2}}{4-x^{2}}}dx}=\int_{0}^{2}{\frac{\sqrt{arcsin\frac{x}{2}}}{\sqrt{4-x^{2}}}dx}=

 =\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\int_{0}^{\varepsilon }{\frac{\sqrt{arcsin\frac{x}{2}}}{\sqrt{4-x^{2}}}dx}=\begin{vmatrix}arcsin\frac{x}{2}=t\\ \frac{dx}{\sqrt{4-x^{2}}}=dt \end{vmatrix}=

 =\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\int_{0}^{\varepsilon }{\sqrt{t}dt}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\int_{0}^{\varepsilon }{t^{\frac{1}{2}}dt}=

 =\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|_{0}^{\varepsilon }=\frac{2}{3}\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\sqrt{\left(arcsin\frac{x}{2} \right)^{3}}|_{0}^{\varepsilon }=

 =\frac{2}{3}\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\left(\sqrt{\left(arcsin\frac{\varepsilon }{2} \right)^{3}}-\sqrt{\left(arcsin0 \right)^{3}} \right)=

 =\frac{2}{3}\left(\sqrt{\left(arcsin1 \right)^{3}}-\sqrt{\left(arcsin0 \right)^{3}} \right)=

 =\frac{2}{3}\left(\sqrt{\left( \frac{\pi }{2}\right)^{3}} -0\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{3}\sqrt{\frac{\pi }{2}}  .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Вересень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Сер    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930