Задача 15 (Перехід між базисами)

Знайти матрицю лінійного оператора  A:R^{2}\rightarrow R^{3} , де  A\begin{pmatrix} x_{1}\\  x_{2}\\  x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{1}-x_{2}+3x_{3} \\   2x_{1}+x_{3}\end{pmatrix} в канонічному базисі простору  R^{3} .

Нехай в просторі   R^{3}  задано деякий вектор  \vec{x}\left(x_{1};x_{2};x_{3} \right) .

Під дією ліінйного оператора вектор   \vec{x}  переходить у вектор   \vec {y}\left(x_{1}-x_{2}+3x_{3};2x_{1}+x_{3} \right) .

Канонічний базис простору   R^{3}  має вигляд { \vec{e_{1}};\vec{e_{2}};\vec{e_{3}} } , де  \vec{e_{1}}=(1;0;0) ,  \vec{e_{2}}=(0;1;0) ,  \vec{e_{3}}=(0;0;1) .

Оскільки, лінійний оператор діє на кожен вектор простору  R^{3} , то він дії і на базисні вектори за тим самим правилом. Тобто:

 A\left(\vec{e_{1}} \right)=\begin{pmatrix} 1-0+3\cdot 0\\  2\cdot 1+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\  2 \end{pmatrix}=(1;2)

 A\left(\vec{e_{2}} \right)=\begin{pmatrix} 0-1+3\cdot 0\\  2\cdot 0+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\  0 \end{pmatrix}=(-1;0)

 A\left(\vec{e_{3}} \right)=\begin{pmatrix} 0-0+3\cdot 1\\  2\cdot 0+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\  1 \end{pmatrix}=(3;1)

З векторів, що утворилися маємо матрицю  A'=\begin{pmatrix} 1 &2 \\  -1 &0 \\  3 & 1 \end{pmatrix} .

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Квітень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Бер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930