Задача 17 (Розв’язування системи рівнянь)

Перевірити систему на сумісність. В випадку сумісності знайти її розв’язок:

 \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6,\\ 2x_{1}-x_{3}-x_{4}=-2,\\ 3x_{1}+x_{2}-2x_{4}=0,\\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}-4x_{4}=4, \end{matrix}\right.

 \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6,\\ 2x_{1}-x_{3}-x_{4}=-2,\\ 3x_{1}+x_{2}-2x_{4}=0,\\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}-4x_{4}=4, \end{matrix}\right.

 \bar{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 &6 \\ 2 &0 & -1 & -1 &-2 \\ 3 & 1 & 0 & -2 &0 \\ 1 &-1 &2 & -4 & 4 \end{pmatrix}\sim  (домножаємо перший рядок на -2 та додаємо до другого, на -3 та додаємо до третього,  на -1 та та додаємо до четвертого)

 \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & 6\\ 0 & -4 &-7 & 3 &-14 \\ 0& -5 & -9 & 4 &-18 \\ 0& -3 &-1 &-2 &-2 \end{pmatrix}\sim  (домножаємо четвертий рядок на -1)

 \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & 6\\ 0 & 3 &1 & 2 &2 \\ 0& -4 & -7 & 3&-14 \\ 0& -5 &-9 &4 &-18 \end{pmatrix}\sim  (домножаємо другий рядок на 4/3 та додаємо до третього, на 5/3 та додаємо до четвертого)

 \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & 6\\ 0 & 3 &1 & 2 &2 \\ 0& 0& -\frac{17}{3} & \frac{17}{3}&-\frac{34}{3} \\ 0& 0&-\frac{22 }{3} &\frac{22 }{3}&-\frac{44}{3} \end{pmatrix}\sim  (домножаємо третій рядок на -3/17, а четвертий на -3/22)

 \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & 6\\ 0 & 3 &1 & 2 &2 \\ 0& 0& 1 & -1&2 \\ 0& 0&1 &-1&2 \end{pmatrix}\sim

 \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & 6\\ 0 & 3 &1 & 2 &2 \\ 0& 0& 1 & -1&2 \\ 0& 0&0 &0&0 \end{pmatrix}

 rangA=rang \bar{A}=r=3

За теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна.

Оскільки, система має n = 4 невідомі, r < 4, то система невизначена і має n – r = 4- 3 = 1 вільну невідому. Нехай це буде х4.

Тоді: 

 \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6,\\ 3x_{2}+x_{3}+2x_{4}=2,\\ x_{3}-x_{4}=2, \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} x_{1}=6-2x_{2}-3x_{3}+2x_{4},\\ x_{2}=\frac{2}{3}-\frac{x_{3}}{3}-\frac{2}{3}x_{4},\\ x_{3}=2+x_{4}; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} x_{1}=6-2x_{2}-6-3x_{4}+2x_{4},\\ x_{2}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}-\frac{x_{4}}{3}-\frac{2}{3}x_{4};\\ x_{3}=2+x_{4}; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} x_{1}=2x_{4}-x_{4},\\ x_{2}=-x_{4},\\ x_{3}=2+x_{4}; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} x_{1}=x_{4},\\ x_{2}=-x_{4},\\ x_{3}=2+x_{4}; \end{matrix}\right.x_{4}\in R

Відповідь:  \left\{x_{4};-x_{4};2+x_{4};x_{4} \right\},x_{4}\in R .

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Квітень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Бер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930