Задача 18 (Економічна задача)

Структурна матриця торгівлі трьох країн має вигляд  A = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} &0 &\frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{2} &\frac{1}{4} \end{pmatrix} , де  a_{ij}  частка бюджету, яку j -та країна  витрачає на закупівлю товарів у i – й країні. Знайти співвідношення бюджетів країн для збалансованої торгівлі.

♦ Нехай  X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix} -матриця національних доходів країн.

Умова збалансованої торгівлі А·Х=Х.

Тобто потрібно розв’язати рівняння (А – Е) Х= 0. У матричному вигляді:

 \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} &0 &\frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} &-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{2} &-\frac{3}{4} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}=0 або  \left\{\begin{matrix} -\frac{2}{3}x_{1}+\frac{1}{4}x_{3}=0,\\ \frac{1}{3}x_{1}-\frac{1}{2}x_{2}+\frac{1}{2}x_{3}=0,\\ \frac{1}{3}x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}-\frac{3}{4}x_{3}=0; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} -8x_{1}+3x_{3}=0,\\ 2x_{1}-3x_{2}+3x_{3}=0,\\ 4x_{1}+6x_{2}-9x_{3}=0; \end{matrix}\right. .\sim 

Розв’яжемо систему методом Гауса:

 \begin{pmatrix} 2 &-3 &3 &0 \\ 4 &6 & -9 & 0\\ -8 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}\sim

 \sim \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 & 0\\ 0 & 12 & -15 & 0\\ 0 & -12 & 15 & 0 \end{pmatrix}\sim

 \sim \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 & 0\\ 0 & 12 & -15 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Rang (A – E) = 2,  число невідомих n = 3, отже система невизначена і має одну вільну невідому.

Нехай це буде х3Тоді,  \left\{\begin{matrix} 2x_{1}-3x_{2}+3x_{3}=0,\\ 12x_{2}-15x_{3}=0; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} 2x_{1}-3x_{2}+3x_{3}=0,\\ 4x_{2}-5x_{3}=0; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} 2x_{1}=3\cdot \frac{5}{4}x_{3}+3x_{3},\\ x_{2}=\frac{5}{4}x_{3}; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} 2x_{1}=\frac{3}{4}x_{3},\\ x_{2}=\frac{5}{4}x_{3}; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{3}{8}x_{3},\\ x_{2}=\frac{5}{4}x_{3}. \end{matrix}\right. .

Отже, збалансованість торгівлі трьох країн досягається при співвідношенні національних доходів  \frac{3}{8}:\frac{5}{4}:1 або  3:10:8. ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Квітень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Бер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930