Задача 18 (Інтегрування раціональних дробів)

Обчислити невизначений інтеграл  \int \frac{3x^{2}-15}{(x^{2}+5x+6)(x-1)}dx

♦  \int \frac{3x^{2}-15}{(x^{2}+5x+6)(x-1)}dx= \begin{vmatrix} x^{2}+5x+6=0 \\ x_{1}=-2, \; x_{2} = -3 \\ (x^{2}+5x+6 = (x+2)(x+3) \end{vmatrix} =

  \frac{x^{2}-5}{(x+2)(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}+ \frac{C}{x-1} =

 = \frac{A(x+3)(x-1)+B(x+2)(x-1)+C(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+3)(x-1)} =

 = \frac{Ax^{2}+2Ax-3A+Bx^{2}+Bx-2B+Cx^{2}+5Cx+6C}{(x+2)(x+3)(x-1)} =

 = \frac{(A+B+C)x^{2}+(2A+B+5C)x+(-3A-2B+6C)}{(x+2)(x+3)(x-1)}

 \left\{\begin{matrix} A+B+C=1,\\ 2A+B+5C=0,\\ -3A-2B+6C=-5; \end{matrix}\right.

Домножимо перший рядок на -2, а другий на 3 та додамо до третього рядка: 

 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 5 & 0 \\ -3 & -2 & 6 & -5 \end{pmatrix}     \begin{matrix} \cdot (-2) \\ \cdot 3\\ + \end{matrix}  →

→  \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 3 & -2\\ 0 & 1 & 9 & -2 \end{pmatrix}  →

Додамо другий і третій рядки останньої матриці.

→  \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 3 & -2\\ 0 & 0 & 12 & -4 \end{pmatrix}

 \left\{\begin{matrix} 12 C = -4, \\ -B + 3C = -2, \\ A +B + C = 1; \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} C = - \frac{1}{3}, \\ B = 1, \\ A = \frac{1}{3} \end{matrix}\right.

 3 \left( \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x+2} + \int \frac{dx}{x+3} - \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x-1} \right) =

 = ln \left|x+2 \right| + 3 ln \left|x+3 \right| - ln \left|x-1 \right| + C =

 = 3 ln \left|x+3 \right| + ln \left|\frac{x+2}{x-1} \right| +C  

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930