Задача 18 (Обчислення площі фігури)

Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій y = 5sinx та y = 5cosx.

♦ Зобразимо графіки заданих функцій:

Знайдемо точки перетину кривих: 

 5sinx=5cosx\; /:5cosx

 \frac{sinx}{cosx}=1

 tgx=1

 x=\frac{\pi }{4}+\pi n,\; n\in Z

Візьмемо  x_{1}=\frac{\pi }{4},\; n=0;

 x_{2}=\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4},\; n=1.

Оскільки потрібно обчислити площу фігури, яка складається із двох однакових частин, то можна визначити площу фігури на обраному проміжку і помножити на 2. 

 S=2S_{n}

 S_{n}=\int_{\frac{\pi }{4}}^{5\pi }{4}\left(5sinx-5cosx \right)dx=

  =5\int_{\frac{\pi }{4}}^{5\pi }{4}\left(sinx-cosx \right)dx=5\left(-cosx-sinx \right)|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}=

 =5\left(-cos\frac{5\pi }{4}-sin\frac{5\pi }{4}+cos\frac{\pi }{4}+sin\frac{\pi }{4} \right)=

 =5\left(-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=

 =5\cdot \frac{4\cdot \sqrt{2}}{2}=5\cdot 2\sqrt{2}=10\sqrt{2}

 S=2\cdot 10\sqrt{2}=20\sqrt{2} (кв. од.)

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Серпень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лип    
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031