Задача 19 (Обчислення довжини дуги)

Знайти довжину дуги кривої  y=lnx , при  \frac{3}{4}\leq x\leq \frac{12}{5} .

♦ Зобразимо дану криву:

Довжину дуги кривої обчислимо за формулою: 

 =\int_{a}^{b}{\sqrt{1+y'^{2}}dx}=\int_{\frac{3}{4}}^{\frac{12}{5}}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x} \right)^{2}}dx}=\int_{\frac{3}{4}}^{\frac{12}{5}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}dx}=

 =\int_{\frac{3}{4}}^{\frac{12}{5}}{\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}dx}=\int_{\frac{3}{4}}^{\frac{12}{5}}{x^{-1}\left(1+x^{2} \right)dx}=\begin{vmatrix} m=-1\\ n=2\\ \frac{m+1}{n}=\frac{-1+1}{2}=0\in Z \end{vmatrix} .

Виконаємо підстановку: 

 1+x^{2}=t^{2},

 x^{2}=t^{2}-1,

 x=\sqrt{t^{2}-1} .

Звідси,  dx=\frac{1}{\sqrt{t^{2}-1}}\cdot 2tdt=\frac{tdt}{\sqrt{t^{2}-1}} .

Знайдемо  t_{1}=\sqrt{x_{1}^{2}+1}=\sqrt{\left(\frac{3}{4} \right)^{2}+1}=\sqrt{\frac{9}{16}+1}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}

 t_{2}=\sqrt{x_{2}^{2}+1}=\sqrt{\left(\frac{12}{5} \right)^{2}+1}=\sqrt{\frac{144}{25}+1}=\sqrt{\frac{169}{25}}=\frac{13}{5} .

Підставивши всі знайдені значення в інтеграл, отримаємо: 

 =\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{5}}{\frac{\sqrt{t^{2}}}{\sqrt{t^{2}-1}}}\cdot \frac{tdt}{\sqrt{t^{2}-1}}=\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{5}}{\frac{t\cdot tdt}{t^{2}-1}}=

 =\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{5}}{\frac{t^{2}dt}{t^{2}-1}}=\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{5}}{\frac{\left(t^{2} -1\right)+1}{t^{2}-1}dt}=

 =\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{5}}{\left(1 +\frac{1}{t^{2}-1}\right)dt}=\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{5}}{dt}+\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{5}}{\frac{dt}{t^{2}-1}}=

 =t|_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{5}}+\frac{1}{2}ln\left|\frac{t-1}{t+1} \right||_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{5}}=\frac{13}{5}-\frac{5}{4}+\frac{1}{2}ln\left|\frac{\frac{13}{5}-1}{\frac{13}{5}+1} \right|-

 -\frac{1}{2}ln\left|\frac{\frac{5}{4}-1}{\frac{5}{4}+1} \right|=\frac{52-25}{20}+\frac{1}{2}ln\left|\frac{\frac{8}{2}}{\frac{18}{5}} \right|-\frac{1}{2}ln\left|\frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}} \right|=

 =\frac{27}{20}+\frac{1}{2}ln\frac{4}{9}-\frac{1}{2}ln\frac{1}{9}=\frac{27}{20}-\frac{1}{2}ln\frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{9}}=

 =\frac{27}{20}-\frac{1}{2}ln4=\frac{27}{20}-ln\sqrt{4}=\frac{27}{20}-ln2 .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Серпень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лип    
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031