Задача 2 (Добуток матриць)

Обчислити добутки матриць АВ та ВА  (якщо це можливо) для заданих матриць:

a)   A = \begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0& -3 &4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&0 \\ -1&1 \end{pmatrix};

б)  A =\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2\\ 4 \end{pmatrix},\; B = \begin{pmatrix} 3 &5 &-4 &0 \end{pmatrix} ;

в)  A =\begin{pmatrix} -2 &4 \\ 3&-1 \end{pmatrix},\; B = \begin{pmatrix} -1 &3 &4 \\ 4& 3 &-1 \end{pmatrix};

г)    A=\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0&5 \end{pmatrix}, \; B = \begin{pmatrix} 7 &3 \\ 4 & -1\\ 2 &0 \end{pmatrix} .

♦ а) Задано матриці  A_{2\times 3} \; i \; B_{3\times 2}.  Їх розмірності дозволяють знайти добутки  АВ і ВА. При цьому добуток АВ матиме розмірність 2×2, а добуток ВА – 3×3. Отже:

 AB = \begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0&-3 &4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0\\ -1 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0-1-2 &1-0+2 \\ 0-3-4 & 0-0+4 \end{pmatrix}=

=\begin{pmatrix} -3&3 \\ -7&4 \end{pmatrix}

 BA=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0\\ -1 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0&-3 &4 \end{pmatrix}=

 =\begin{pmatrix} 0+0 &0-3 &0+4 \\ 1+0 & -1-0 &2+4 \\ -1+0& 1-3 & -2+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &-3 &4 \\ 1& -1& 6\\ -1&-2 &2 \end{pmatrix}

б) Для заданих матриць існують обидва добутки АВ та ВА. Матриця АВ матиме розмірність 4×4, а матриця ВА – 1×1.

 AB =\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 5 &-4& 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 &-5 &4 &0 \\ 9& 15& -12& 0\\ 6 &10 &-8 &0 \\ 12& 20& -16&0 \end{pmatrix}

 BA=\begin{pmatrix} 3 &5 &-4 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3+15-8+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \end{pmatrix}

в) Оскільки розмірність матриці А 2×2, а розмірність матриці В 2×3, то в даному випадку існує лише добуток АВ. Це буде матриця розмірності 2×3.  Добуток ВА знайти не можливо.

 AB= \begin{pmatrix} -2 &4 \\ 3 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 &3 &4 \\ 4& 3& -1 \end{pmatrix}=

=\begin{pmatrix} 2+16 &-6+12 &-8-4 \\ -3-4& 9-3 &12+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18 &6 &-12 \\ -7& 6& 13 \end{pmatrix}

Оскільки розмірність матриці А 2×2, а розмірність матриці В 3×2, то можемо знайти лише добуток ВА розмірності 3×2. Добуток АВ знайти неможливо.

 BA=\begin{pmatrix} 7 &3 \\ 4& -1\\ 2& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0& 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14+0 &-7+15 \\ 8-0&-4-5 \\ 4+0& -2+0 \end{pmatrix}=

=\begin{pmatrix} 14 &8 \\ 8&-9 \\ 4&-2 \end{pmatrix} . ♦

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Жовтень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Вер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031