Задача 5 (Екстремуми функції)

Дослідити на екстремум функцію  f(x)=\frac{x^{2}+4x}{x-1} .

♦ 1) Знаходимо критичні точки даної функції:

 f'(x)= \frac{(2x+4)(x-1)-(x^{2}+4x)}{(x-1)^{2}}=
=\frac{2x^{2}+4x-2x-4-x^{2}-4x}{(x-1)^{2}}=
=\frac{x^{2}-2x-4}{(x-1)^{2}} .

2) Знайдемо точки підозрілі на екстремум, тобто точки, в яких похідна не існує або дорівнює нулю. Оскільки, функція є дробово-рацілнальною, то вона не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється на нуль. Тобто:

 x-1=0\Rightarrow x=1 .

Функція дорівнює нулю, коли її чисельник дорівнює нулю. Тобто:

x^{2}-2x-4=0\Rightarrow x_{1}=1+\sqrt{5},\; x_{2}=1-\sqrt{5}.

Отже, точками підозрілими на екстремум є:  x_{1}=1+\sqrt{5},\; x_{2}=1,\; x_{3}=1-\sqrt{5}.

3) Одержані точки поділяють область визначення функції на проміжки:  (-\propto ;1-\sqrt{5}),\; (1-\sqrt{5};1),\; (1;1+\sqrt{5})\; i\; (1+\sqrt{5};+\propto ) .

Перевіримо знаки похідної на цих проміжках.

Точки, в яких похідна змінює знак з “+” на “-” є точками максимуму, а ті, в яких з “-” на “+” – точками мінімуму.

Тобто:  x=1-\sqrt{5} – точка максимуму.

 x=1+\sqrt{5} – точка мінімуму.

4) Підставляючи отримані значення в функцію, отримаємо:

f_{max}=f(1-\sqrt{5})=\frac{(1-\sqrt{5})^{2}+4(1-\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5}-1)^{2}}=

=\frac{1-2\sqrt{5}+5+4-4\sqrt{5}}{5}=\frac{10-6\sqrt{5}}{5}=2-\frac{6}{\sqrt{5}}

f_{min}=f(1+\sqrt{5})=\frac{(1+\sqrt{5})^{2}+4(1+\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5}-1)^{2}}=

=\frac{1+2\sqrt{5}+5+4+4\sqrt{5}}{5}=\frac{10+6\sqrt{5}}{5}=2+\frac{6}{\sqrt{5}} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Жовтень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Вер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031