Задача 2 (Обчислення площі в полярник координатах)

Обчислити площу лунки, обмеженої дугами кіл ρ = sin φ i       ρ = cos φ, 0 ≤ φ ≤ π/2.

♦ Визначимо полярну координату φ точки перетину даних кіл із системи рівнянь. 

Маємо sin φ = cos φ, tg φ = 1, φ = arctg 1 = π/4. 

Площа S даної фігури дорівнює сумі площ S1 і S2 криволінійних секторів OnM i OmM. Оскільки ці площі рівні між собою, то досить обчислити одну з них, наприклад S1.

Дуга  OnM описується кінцем полярного радіуса ρ кола ρ = sin φ при зміні полярного кута від α = 0 до α = π/4. Тому, використовуючи формулу  S=\frac{1}{2}\int_{\alpha }^{\beta }{(\rho _{2}^{2}(\varphi )-\rho _{1}^{2}(\varphi ))d\varphi } , знаходимо 

 S_{1}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\rho ^{2}d\varphi }=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{sin^{2}\varphi d\varphi }=

 =\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{(1-cos\varphi )d\varphi }=\frac{1}{4}(\varphi -\frac{1}{2}sin2\varphi )|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{16}(\pi -2) .

Отже S=2S_{1}=\frac{1}{8}(\pi -2) . ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930