Задача 2 (Радіус, інтервал та область (проміжок) збіжності степеневого ряду)

Визначити радіус, інтервал та область (проміжок) збіжності степеневого ряду   \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{2^{n}}{2n+1}x^{n}}.

Маємо степеневий ряд, у якого   a_{n}=\frac{2^{n}}{2n+1} і   a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{2n+3}. Тому знаходимо радіус збіжності степеневого ряду  R=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{2^{n}\left(2n+3 \right)}{2^{n+1}\left(2n+1 \right)}=\frac{1}{2} . Тоді інтервалом збіжності є  \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right) . Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу. При   x=-\frac{1}{2} маємо знакопочережний ряд   \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{(-1)^{n}}{2n+1}} , який збігається за ознакою Лейбніца. При  x=\frac{1}{2} дістаємо розбіжний ряд   \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{2n+1}}. Отже, областю збіжності заданого ряду є піввідрізок   \left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right).♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31