Задача 2 (Відстань до площини, напрямні косинуси вектора нормалі, об’єм тетраедра)

Обчислити відстань від початку координат до площини 2 х – 2 у + z – 30 = 0. Знайти напрямні косинуси вектора нормалі цієї площини. Знайти об’єм тетраедра, вершинами якого є початок кординат і точки перетину площини з осями координат.

♦ Спочатку запишемо нормальне рівняння площини:

  \frac{2x-2y+z-30}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}=0\Leftrightarrow \frac{2x-2y+z-30}{3}=0\Leftrightarrow

  \Leftrightarrow \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-10=0.

Маємо:   p=10 – відстань від початку координат до площини, 

  cos\alpha =\frac{2}{3},\; cos \beta  =-\frac{2}{3},\; cos \gamma  =\frac{1}{3} -напрямні косинуси вектора нормалі. 

Знайдемо точки перетину площини з осями координат. Для цього запишемо рівняння площини у відрізках на осях:  \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z=10 /: 10,

  \frac{2}{30}x-\frac{2}{30}y+\frac{1}{30}=1 ,

  \frac{1}{15}x-\frac{1}{15}y+\frac{1}{30}=1 .

Отже, маємо: А ( 15; 0; 0), В ( 0; – 15; 0), С ( 0; 0; 30) – точки перетину площини з осями координат.

Маємо тетраедр, три ребра якого лежать на осях координат.

Тому його об’єм можемо обчислити за формулою:

  V = \frac{1}{3}\cdot S_{OAB}\cdot OC ;

Оскільки трикутник ОАВ є прямокутним рівнобедреним, то його площу знайдемо за формулою:

  S_{OAB}= \frac{1}{2}OA\cdot OB .

Тоді:

 V = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot OC= \frac{1}{6}OA\cdot OB\cdot OC=  \frac{1}{6}15\cdot 15\cdot 30=1125 куб. од. ♦

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31