Задача 5 (Визначення типу поверхні)

Визначити тип поверхні, що задана рівнянням   3x^{2}+4y^{2}-8z^{2}-18x+8y+32z+23=0 . Знайти головні перерізи цієї поверхні.

♦ Для того, щоб визначити тип поверхні, спочатку запишемо її рівняння у канонічному вигляді. Для цього виділимо повні квадрати відносно змінних х, у та z:

3(x^{2}-6x+9)+4(y^{2}+2y+1)-8(z^{2}-4z+4)-27-4+\\+32+23=0,\\ 3(x-3)^{2}+4(y+1)^{2}-8(z-2)^{2}=-24.

Поділимо обидві частини отриманої рівності на 24:

\frac{(x-3)^{2}}{8}+\frac{(y+1)^{2}}{6}-\frac{(z-2)^{2}}{3}=-1.

Введемо заміну:

 \bar{x}=x-3, \; \bar{y}=y+1,\;  \bar{z}=z-2.

Отримаємо канонічне рівняння   \frac{\bar{x}^{2}}{8}+\frac{\bar{y}^{2}}{6}-\frac{\bar{z}^{2}}{3}=-1 , яке задає двопорожнинний гіперболоїд з центром у точці О′(3; -1; 2).

Тепер знайдемо головні перерізи цієї поверхні в новій системі координат.

У перерізі поверхні площиною   \bar{z}=0 отримаємо порожню множину. У перерізі площиною  \bar{y}= 0 отримаємо гіперболу  \frac{\bar{x}^{2}}{8}-\frac{\bar{z}^{2}}{3}=-1 , а площиною  \bar{x}=0  – гіперболу  \frac{\bar{y}^{2}}{6}-\frac{\bar{z}^{2}}{3}=-1 .

Якщо ж говорити про переріз поверхні площиною   \bar{z}=a , то отримаємо:

а) порожню множину, якщо   \left| a\right|<\sqrt{3}\\ ;

б) точку   C(0;0;\pm \sqrt{3}) , якщо    a=\pm \sqrt{3} ;

в) еліпс  \frac{\bar{x}^{2}}{8}+\frac{\bar{y}^{2}}{6}=\frac{a^{2}}{3}-1 , якщо   \left| a\right|>\sqrt{3} .♦

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31