Задача 20 (Обчислення площі в полярних координатах)

Обчислити площу фігури, обмеженої кривою

 r = 6sin3φ, r = 3 (r ≥ 3).

♦ Побудуємо графіки заданих кривих в полярній системі координат. Перша функція задає трипелюсткову троянду, друга – коло, радіуса 3.

Площа шуканої фігури складається з трьох однакових частин. Тому, обчислимо площу однієї частини і помножимо на три. 

 S_{1}=\frac{1}{2}\int_{\alpha }^{\beta }{\left(r_{2} ^{2}\left(\varphi \right)-r_{1}^{2}\left(\varphi \right)\right)d\varphi }=

 =\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left(\left(6sin3\varphi \right)^{2}-3^{2} \right)d\varphi }=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left(36sin^{2}3\varphi -9 \right)d\varphi }=

 =\frac{9}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left(4sin^{2}3\varphi -1 \right)d\varphi }=\frac{9}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left(4\cdot \frac{1-cos6\varphi }{2}-1 \right)d\varphi }=

 =\frac{9}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left(2-2cos6\varphi -1 \right)d\varphi }=\frac{9}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left(1-2cos6\varphi \right)d\varphi }=

 =\frac{9}{2}\left(\varphi -\frac{2sin6\varphi }{6} \right)|_{0}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{9}{2}\left(\varphi -\frac{sin6\varphi }{3} \right)|_{0}^{\frac{\pi }{3}}=

 =\frac{9}{2}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{sin2\pi }{3}-0+sin0 \right)=\frac{9}{2}\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}  (кв. од.)

 S=3S_{1}=3\cdot \frac{3\pi }{2}=\frac{9\pi }{2}=4,5\pi  (кв. од.)♦

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Жовтень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Вер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031