Задача 21 (Інтегрування ірраціональних виразів)

Знайти інтеграл  \int \frac{\sqrt[3]{x+3}}{\sqrt[3]{x+3}+\sqrt{x+3}}dx  

  \int \frac{\sqrt[3]{x+3}}{\sqrt[3]{x+3}+\sqrt{x+3}}dx=\begin{vmatrix} x+3=t^{6}\\ dx=6t^{5}dt \end{vmatrix}=

  =\int \frac{\sqrt[6]{t^{6}}\cdot 6t^{5}}{\sqrt[3]{t^{6}}+\sqrt{t^{6}}}=6\int \frac{t\cdot t^{5}}{t^{2}+t^{3}}dt=

  =6\int \frac{t^{6}}{t^{2}(1+t)}dt= 6\int \frac{t^{4}}{1+t}dt=

 =6\int \left(t^{3}-t^{2}+t-1+\frac{1}{1+t} \right)dt=

 =6\left(\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}-t+ln\left|1+t \right| \right)+C=

  =\frac{3\sqrt[6]{x+3}^{4}}{2}-2\sqrt[6]{x+3}^{3}+3\sqrt[6]{x+3}^{2}-6\sqrt[6]{x+3}+

 +ln\left|1+\sqrt[6]{x+3} \right|+C=

 =\frac{3\sqrt[3]{x+3}^{2}}{2}-2\sqrt{x+3}+3\sqrt[3]{x+3}-6\sqrt[6]{x+3}+ln\left|1+\sqrt[6]{x+3} \right|+C  

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Вересень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Сер    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930