Задача 21 (Обчислення довжини дуги в полярних координатах)

Обчислити довжину дуги, обмеженої кривою r = 6φ.

♦ Зобразимо перший виток заданої спіралі Архімеда: 

Довжину дуги кривої, заданої в полярній системі координат, обчислимо за формулою: 

 l=\int_{\alpha }^{\beta }{\sqrt{r^{2}\left(\varphi \right)+r'^{2}\left(\varphi \right)}d\varphi }=

 =\int_{0}^{2\pi }{\sqrt{\left(6\varphi \right)^{2}+6^{2}}d\varphi }=\int_{0}^{2\pi }{\sqrt{36\varphi ^{2}+36}d\varphi }=

 =6\int_{2}^{2\pi }{\sqrt{\varphi ^{2}+1}d\varphi }=\begin{vmatrix} U=\sqrt{\varphi ^{2}+1} & dV=d\varphi \\ dU=\frac{\varphi d\varphi }{\sqrt{\varphi ^{2}+1}} & V=\varphi \end{vmatrix}=

 =6\left(\varphi \sqrt{\varphi ^{2}+1}|_{0}^{2\pi }-\int_{0}^{2\pi }{\frac{\varphi ^{2}d\varphi }{\sqrt{\varphi ^{2}+1}}} \right)=

 =6\left(2\pi \sqrt{4\pi ^{2}+1} -0\right)-6\int_{0}^{2\pi }{\frac{\left(\varphi ^{2}+1 \right)-1}{\sqrt{\varphi ^{2}+1}}}=

 =12\pi \sqrt{4\pi ^{2}+1}-6\int_{0}^{2\pi }{\sqrt{\varphi ^{2}+1}}+6\int_{0}^{2\pi }{\frac{d\varphi }{\varphi ^{2}+1}}\Rightarrow

 \Rightarrow 12\int_{0}^{2\pi }{\sqrt{\varphi ^{2}+1}d\varphi }=12\pi \sqrt{4\pi ^{2}+1}+6ln\left(\varphi +\sqrt{\varphi ^{2}+1} \right)|_{0}^{2\pi }\Rightarrow

 \Rightarrow 6\int_{0}^{2\pi }{\sqrt{\varphi ^{2}+1}d\varphi }=6\pi \sqrt{4\pi ^{2}+1}+3ln\left(2\pi +\sqrt{4\pi ^{2}+1} \right)-

 -6ln\left(0+\sqrt{0+1} \right)=6\pi \sqrt{4\pi ^{2}+1}+3ln\left(2\pi +\sqrt{4\pi ^{2}+1} \right)-6ln1=

 =6\pi \sqrt{4\pi ^{2}+1}+3ln\left(2\pi +\sqrt{4\pi ^{2}+1} \right) .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Жовтень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Вер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031