Задача 22 (Інтегрування тригонометричних виразів)

Знайти інтеграл  \int \sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot cos^{3}xdx

  \int \sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot cos^{3}xdx=

 = \int \sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot cos^{2}x\cdot cosxdx=

 =\int \sqrt[3]{sin^{2}x}(1-sin^{2}x)cosxdx=

 =\int \sqrt[3]{sin^{2}x}cosxdx-\int \sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot sin^{2}x\cdot cosxdx=

 =\int \left(sinx \right)^{\frac{2}{3}}cosxdx-\int \left(sinx \right)^{\frac{8}{3}}cosxdx=

 =\begin{vmatrix} sinx = t\\ cosxds = dt \end{vmatrix}=

 =\int t^{\frac{2}{3}}dt - \int t^{\frac{8}{3}}dt=

 =\frac{t^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}-\frac{t^{\frac{11}{3}}}{\frac{11}{3}}+C=

 =\frac{3\sqrt[3]{sin^{5}x}}{5}-\frac{3\sqrt[3]{sin^{11}x}}{11}+C=

 =\frac{3\sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot sinx}{5}-\frac{3\sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot sin^{3}x}{11}+C=

 =3\sqrt[3]{sin^{2}x}\left(\frac{sinx}{5}-\frac{sin^{3}x}{11} \right)+C  ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Червень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930