Задача 23 (Розклад підінтегрального виразу на раціональні дроби)

Знайти інтеграл а)  \int \frac{x^{2}+2}{\left(x^{2}+2x \right)\left(x-1 \right)}dx  ;

б)  \int \frac{x^{2}+x+4}{x\left(x^{2} +2\right)}dx  .

♦ а)  \int \frac{x^{2}+2}{\left(x^{2}+2x \right)\left(x-1 \right)}dx=\int \frac{x^{2}+2}{x\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}dx=

 \frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}=\frac{A\left(x^{2}+x-2 \right)+B\left(x^{2}-x \right)+C\left(x^{2}+2x \right)}{x\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}=

 =\frac{\left(A+B+C \right)x^{2}+\left(A-B+2c \right)x-2A}{x\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}=\frac{x^{2}+2}{x\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}

 \left\{\begin{matrix} A+B+C=1,\\ A-B+2C=0,\\ -2A=2; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} B+C=2,\\ -B+2C=1,\\ A=-1; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3C=3,\\ -B+2C=1,\\ A=-1; \end{matrix}\right. \Rightarrow

 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} C=1,\\ -B=-1,\\ A=-1; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} C=1,\\ B=1,\\ A=-1. \end{matrix}\right.

 =\int \left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-1} \right)dx=-\int \frac{dx}{x}+\int \frac{dx}{x+2}+\int \frac{dx}{x-1}=

 =-ln\left|x \right|+ln\left|x+2 \right|+ln\left|x-1 \right|+C=ln\left|\frac{\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}{x} \right|=

 =ln\left|\frac{x^{2}+x-2}{x} \right|+C ;

б)  \int \frac{x^{2}+x+4}{x\left(x^{2} +2\right)}dx

 \int \frac{x^{2}+x+4}{x\left(x^{2} +2\right)}dx=

 \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2}=\frac{Ax^{2}+2A+Bx^{2}+Cx}{x\left(x^{2}+2 \right)}=

  =\frac{\left(A+B \right)x^{2}+Cx+2A}{x\left(x^{2}+2 \right)}=\frac{x^{2}+x+4}{x\left(x^{2} +2\right)}

  \left\{\begin{matrix} A+B=1,\\ C=1,\\ 2A=4; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} B=-1,\\ C=1,\\ A=2. \end{matrix}\right.

  =\int \left(\frac{2}{x} +\frac{-x+1}{x^{2}+2}\right)dx=

  =\int \left(\frac{2}{x}-\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{1}{x^{2}+2} \right)dx=

 =\int \frac{2dx}{x}-\int \frac{xdx}{x^{2}+2}+\int \frac{dx}{x^{2}+2}=

  =2ln\left|x \right|+\frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{x}{\sqrt{2}}-\int \frac{xdx}{x^{2}+2}=

  =\begin{vmatrix} x^{2}+2=t\\ 2xdx=dt\\ xdx=\frac{dt}{2} \end{vmatrix}=2ln\left|x \right|+\frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=

 =2ln\left|x \right|+\frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}ln\left|x^{2}+2 \right|+C  .

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930