Задача 27 (Інтегрування дробово-раціональних виразів)

Обчислити інтеграл  \int \frac{\left(x^{2}-x+1 \right)dx}{\left(x+1 \right)^{3}\left(x^{2}+2 \right)}

♦ Підінтегральна функція являє собою правильний раціональний дріб (степінь чисельника – 4 менший за степінь знаменника – 5). Знаменник має один дійсний корінь х = -1, кратності 3, а також множник, який не має дійсних коренів, другогостепеня. Маємо розклад:  \frac{x^{4}-x+1}{\left(x+1 \right)^{3}\left(x^{2}+1 \right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{\left(x+1 \right)^{2}}+\frac{C}{\left(x+1 \right)^{3}}+\frac{Dx+E}{x^{2}+2} .

Домножимо обидві частини рівності на знаменник початкового дробу: 

 x^{4}-x+1=A\left(x+1 \right)^{2}\left(x^{2}+2 \right)+B\left(x+1 \right)\left(x^{2}+2 \right)+

 +C\left(x^{2}+2 \right)+\left(Dx+E \right)\left(x+1 \right)^{3}

 x^{4}-x+1=\left(Ax^{2}+2A \right)\left(x^{2}+2x+1 \right)+B\left(x^{3}+x^{2}+2x+2 \right)+

 +Cx^{2}+2C+\left(Dx+E \right)\left(x^{3}+3x^{2}+3x+1 \right)

 x^{4}-x+1=Ax^{4}+2Ax^{2}+2Ax^{3}+4Ax+Ax^{2}+2A+Bx^{3}+

 +Bx^{2}+2Bx+2B+Cx^{2}+2C+Dx^{4}+Ex^{3}+3Dx^{3}+3Ex^{2}+

 +3Dx^{2}+3Ex+Dx+E

 x^{4}-x+1=\left(A+D \right)x^{4}+\left(2A+B+E+3D \right)x^{3}+

 +\left(2A+A+B+C+3E+3D \right)x^{2}+\left(4A+2B+3E+D \right)x+

 + \left(2A+2B+2C+E \right)

З рівності многочленів випливає рівність коефіцієнтів: 

 \left\{\begin{matrix} A+D=1,\\ 2A+B+E+3D=0,\\ 3A+B+C+3E+3D=0,\\ 4A+2B+3E+D=-1,\\ 2A+2B+2C+E=1; \end{matrix}\right.\Rightarrow

 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} A+D=1,\\ 2A+B+3D+E=0,\\ 3A+B+C+3D+3E=0,\\ 4A+2B+D+3E=-1,\\ 2A+2B+2C+E=1. \end{matrix}\right.

Розв’яжемо систему лінійних рівнянь відносно невідомих А, В, С, D і Е методом Гауса: 

 \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 & | & 1\\ 2 & 1 & 0 & 3 & 1 &| &0 \\ 3 & 1 & 1 & 3 & 3 & | &0 \\ 4 & 2 & 0 &1 &6 &| &-1 \\ 2 &2 &2 &0 &1 &| & 1 \end{pmatrix}\rightarrow (домножимо перший рядок на -2 і додамо до другого і до п’ятого; на -3 і додамо до третього; на -4 і додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &| &1 \\ 0 & 1 &0 &1 &1 & | &-2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 &| &-3 \\ 0 &2 &0 & -3 & 3 &| &-5 \\ 0 &2 &2 &-2 &1 &| &-1 \end{pmatrix}\rightarrow (домножимо другий рядок на -1 і додамо до третього; на -2 і додамо до четвертого і п’ятого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 &0 &| &1 \\ 0 &1 &0 &1 &1 &| &-2 \\ 0 &0 &1 &-1 &2 &| &-1 \\ 0 &0 &0 &-5 &1 &| &-1 \\ 0 &0 &2 &-4 &-1 &| &3 \end{pmatrix}\rightarrow (домножимо третій рядок на -2 і додамо до п’ятого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &| &1 \\ 0 &1 &0 &1 &1 &| &-2 \\ 0& 0 & 1 & -1 &2 &| &-1 \\ 0 &0 &0 &-5 &1 &| &-1 \\ 0 &0 &0 &-2 &-5 &| &5 \end{pmatrix}\rightarrow (домножимо четвертий рядок на  -\frac{2}{5}  і додамо до п’ятого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &| &1 \\ 0& 1 &0 &1 &1 &| & -2\\ 0 &0 &1 &-1 &2 &| &-1 \\ 0& 0 &0 &-5 &1 &| &-1 \\ 0& 0 &0 &0 0& -\frac{27}{5} &| &\frac{27}{5} \end{pmatrix}

 -\frac{27}{5}E=\frac{27}{5}\Rightarrow E=-1;

 -5D+E=-1,

 -5D-1=-1,

 -5D=0,

 D=0;

 C-D+2E=-1,

 C-0-2=-1,

 C=-1+2,

 C=1;

 B+D+E=-2,

 B+0-1=-2,

 B=-2+1,

 B=-1;

 A+D=1,

 A+0=1,

 A=1.

Повертаємося до заданого інтеграла:

 \int \frac{\left(x^{4}-x+1 \right)dx}{\left(x+1 \right)^{3}\left(x^{2}+2 \right)}=\int \frac{dx}{x+1}-\int \frac{dx}{\left(x+1 \right)^{2}}+\int \frac{dx}{\left(x+1 \right)^{3}}-

 -\int \frac{dx}{x^{2}+2}=ln\left|x+1 \right|-\frac{\left(x+1 \right)^{-1}}{-1}+\frac{\left(x+1 \right)^{-2}}{-2}-

 -\frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{x}{\sqrt{2}}+C=ln\left|x+1 \right|+\frac{1}{x+1}-\frac{2}{\left(x+2 \right)^{2}}-

 -\frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{x}{\sqrt{2}}+C

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Серпень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лип    
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031