Задача 3 (Канонічне, параметричне рівняння прямої)

Записати канонічне рівняння прямої, заданої як перетин двох площин: x – 2y + 3z +1 = 0 та 2x + y – 4z – 8 = 0 .

Скласти параметричне рівняння прямої l, яка проходить через точку М (3; -4; 5).

♦ Оскільки пряма задана, як перетин двох площин, то напрямний вектор цієї прямої можемо знайти як векторний добуток векторів нормалі заданих площин. Їхні вектори нормалі:

  \vec{n_{1}}=(1;-2;3),\; \vec{n_{2}}=(2;1;-4)

Тоді напрямний вектор шуканої прямої   \vec{a}=(a_{x};a_{y};a_{z}) знаходимо за формулою векторного добутку:

  a_{x}=-2\cdot (-4)-1\cdot 3=5,\;  a_{y}=2\cdot 3-1\cdot (-4)=10,\; a_{z}=1\cdot 1-2\cdot (-2)=5\; \Rightarrow \vec{a}=(5;10;5) .

Тепер методом підбору візьмемо довільну точку, яка належить даній прямій. Нехай це буде точка з абсцисою х = – 1. Знайдемо координати y та z цієї точки:

  \begin{cases}& \text{} x= -1, \\ & \text{ } x-2y+3z+1= 0, \\ & \text{ } 2x+y-4z-8=0 \end{cases}  ⇔

  \begin{cases}& \text{} x= -1, \\ & \text{ } -2y+3z= 0, \\ & \text{ } y-4z=10 \end{cases}  ⇔   x=-1,\;  y=-6,\; z=-4 .

Тепер можемо записати рівняння прямої, що проходить через точку К (-1; -6; -4) паралельно вектору  \vec{a}=(5;10;5) . Це і буде канонічне рівняння шуканої прямої:

  \frac{x+1}{5}=\frac{y+6}{10}=\frac{z+4}{5}\Rightarrow \frac{x+1}{1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z+4}{1} .

Тепер запишемо канонічне рівняння заданої прямої l, яка паралельна заданій прямій і проходить через точку М (3; -4; 5):

   \frac{x-3}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-5}{1} . А звідси записуємо параметричне рівняння цієї прямої:

  x=t+3, \; y = 2t-4,\; z=t+5 .♦

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31