Задача 3 (Криволінійні інтеграли другого роду)

Обчислити криволінійні інтеграли другого роду:

а)  \int _{AB}x^{2}dx+xydy , АВ – відрізок, що з’єднує точки А (1;1) і В (2;3);

б)  \int _{L}(x-y)dx+(x+y)dy , L – ламана ОАВ, де О (0;0), А (1;0), В (3;2);

в)  \int _{AB}xdx+y^{2}dy , АВ – дуга параболи у = х2 від точки (0;0) до точки (2;4);

г)  \int _{AB}\frac{dx}{y}-\frac{dy}{x} , якщо АВ – перша чверть кола х2 + у2 = 4, а обхід здійснюється за рухом годинникової стрілки. 

♦ а) Запишемо рівняння прямої, що проходить через дві точки: 

 \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} . У цьому випадку дістанемо у = 2х – 1. Тоді за формулою 

 \int _{AB}Pdx+Qdy=\int_{a}^{b}{(P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'(x)dx} ,

де у(х) = 2х – 1, у'(х) = 2, маємо

 \int _{AB}x^{2}dx+xydy=\int_{1}^{2}{(x^{2}+x(2x-1)\cdot 2)dx}=

=\int_{1}^{2}{(5x^{2}-2x)dx}=\frac{26}{3} .

б) Рівняння відрізка ОА має вигляд у = 0, 0 ≤ х ≤ 1, і тут dy = 0. Для відрізка АВ маємо у = х – 1,  1 ≤ х ≤ 3, dy = dx. Користуючись властивістю інтеграла за формулою 

 \int _{AB}Pdx+Qdy=\int_{a}^{b}{(P(x,y(X))+Q(x,y(x))y'(x)dx} ,

дістаємо  \int _{L}=(x-y)dx+(x+y)dy=

 =\int _{OA}(x-y)dx+(x+y)dy+\int _{AB}(x-y)dx+(x+y)dy=

 =\int_{0}^{1}{xdx}+\int_{1}^{3}{(x-x+1+x+x-1)dx}=\frac{x^{2}}{2}|_{0}^{1}+x^{2}|_{1}^{3}=\frac{17}{2} .

в) Користуючись формулою

  \int _{AB}Pdx+Qdy+Rdz=\int _{AB}Pdx+\int _{AB}Qdy+\int _{AB}Rdz ,

маємо 

 \int _{AB}xdx+y^{2}dy=\int _{AB}xdx+\int _{AB}y^{2}dy=\int_{0}^{2}{xdx}+\int_{0}^{4}{y^{2}dy}=\frac{70}{3}

г) Запишемо рівняння кола у параметричній формі: x = 2cost, y = 2 sint, 0 ≤ t ≤ π/2. Тоді x'(t) = -2sint, y'(t) = 2cost і за формулою 

 \int _{AB}Pdx+Qdy=\int_{\alpha }^{\beta }{(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))dt}

  \int _{AB}\frac{dx}{y}-\frac{dy}{x}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{(-\frac{2sint}{2sint}-\frac{2cost}{2cost})dt}=

 =-2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{dt}=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{dt}=\pi  .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930