Задача 3 (Метод заміни змінної)

Використовуючи метод заміни змінної, обчислити визначені інтеграли:

а)   \int_{0}^{\sqrt{3}}{x\sqrt{x^{2}+1}dx} ;

б)   \int_{1}^{e}{\frac{lnx}{x}dx} ;

в)  \int_{0}^{1}{\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}}} .

а) Введемо нову змінну, поклавши t  = x2 + 1. Звідси визначаємо dt = 2xdx, \frac{dt}{2}=xdx   і нові межі інтегрування α = 1 при х = 0 та β = 4 при x = √3. Тоді:

 \int_{0}^{\sqrt{3}}{x\sqrt{x^{2}+1}dx}=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}{\sqrt{t}dt}=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}{t^{\frac{1}{2}}dt}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}|_{1}^{4}=\frac{7}{3} .

б) Використаємо підстановку t = ln x, звідси  dt=\frac{dx}{x} , 

α = ln 1, β = ln e = 1. Тоді: 

 \int_{1}^{e}{\frac{lnx}{x}dx}=\int_{0}^{1}{tdt}=\frac{t^{2}}{2}|_{0}^{1}=\frac{1}{2} .

в) Покладемо t = ex. Звідси dt = exdx, α = 1, β = e. Отже: 

 \int_{0}^{1}{\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}}}=\int_{1}^{e}{\frac{dt}{1+t^{2}}}=arctg\:  t|_{1}^{e}=arctg\: e-\frac{\pi }{4} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Жовтень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Вер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031